행렬식
본문행렬 \(\begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}\)을 평면의 모든 점에 곱하면, 한 변이 1인 정사각형은 두 변이 \((2, 1)\)과 \((1, 3)\)인 평행사변형으로 바뀐다. 이 평행사변형의 넓이는 5이고, 행렬식 \(2\times3 - 1\times1\)도 5이다. 넓이가 1이었던 다른 도형도 이 행렬로 옮기면 모두 넓이가 5가 된다. 행렬식이 0이면 무슨 일이 생기고, 음수이면 무엇을 뜻할까? \(3\times3\) 행렬의 행렬식은 무엇을 잴까?
2.3.1넓이와 부피의 배율
\(2\times2\) 행렬 \(A\)를 곱하면 표준기저 \((1, 0)\), \((0, 1)\)은 \(A\)의 두 열벡터로 간다. 그래서 단위 정사각형은 두 열벡터가 만드는 평행사변형으로 바뀌고, 그 넓이가 \(|ad - bc|\)이다. 평면의 다른 도형도 작은 정사각형들로 잘게 나누면 각 조각이 같은 비율로 넓어지므로, 모든 도형의 넓이가 \(|\det A|\)배가 된다. \(3\times3\) 행렬의 행렬식은 같은 방법으로 세 열벡터가 만드는 평행육면체의 부피, 곧 부피의 배율이다.
\(3\times3\) 행렬의 행렬식은 첫째 행을 따라 \[\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})\]이다. \(\det(AB) = \det A\det B\)이고, 두 행을 바꾸면 부호가 바뀌며, 한 행의 실수배를 다른 행에 더해도 값이 같다. \(\det A \ne 0\)일 때만 \(A\)는 역행렬을 가진다.
행렬식이 0이면 넓이나 부피가 0이 되어 평면이 직선으로, 공간이 평면으로 납작해진다. 그러면 서로 다른 점이 같은 점으로 가므로 되돌릴 수 없어 역행렬이 없다. 행렬식의 부호는 방향을 알려 준다. 양수이면 시계 반대 방향으로 돌던 두 기저 벡터의 순서가 그대로이고, 음수이면 거울에 비친 것처럼 순서가 뒤집힌다. 두 변환을 차례로 하면 넓이의 배율이 곱해지므로 \(\det(AB) = \det A\det B\)이다.1
2.3.2틀리기 쉬운 계산
\(3\times3\) 행렬식을 첫째 행으로 전개할 때는 둘째 항의 부호가 음수라는 것을 자주 빠뜨린다. 또 \(\det(A + B)\)는 \(\det A + \det B\)와 다르고, \(\det(2A)\)는 \(3\times3\) 행렬이면 \(2\det A\)가 아니라 \(2^3\det A = 8\det A\)이다. 모든 행에 2가 곱해지므로 부피가 세 방향으로 모두 두 배가 되기 때문이다. 큰 행렬은 행 연산으로 계단 모양을 만들어 대각성분을 곱하는 편이 빠른데, 행을 바꿀 때마다 부호를 바꾸어 주어야 한다.
2.3.3예제 풀이
행렬 \(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix}\)로 꼭짓점이 \((0, 0)\), \((1, 0)\), \((0, 2)\)인 삼각형을 옮기면 넓이는 얼마가 되는가? 또 \(B = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)의 행렬식을 구하고, \(BA\)의 행렬식과 그 뜻을 말하여라.
원래 삼각형의 넓이는 \(\tfrac12\times1\times2 = 1\)이고, \(\det A = 5\)이므로 옮긴 삼각형의 넓이는 5이다. 직접 확인하면 세 꼭짓점은 \((0, 0)\), \((2, 1)\), \((2, 6)\)으로 가고, 넓이는 \(\tfrac12|2\times6 - 1\times2| = 5\)이다.
\(\det B = 0 - 1 = -1\)이다. \(B\)는 직선 \(y = x\)에 대한 대칭이어서 넓이는 그대로이지만 방향이 뒤집힌다. \(\det(BA) = \det B\det A = -5\)이므로, \(A\)로 넓히고 \(B\)로 뒤집은 변환은 넓이를 5배로 하면서 방향을 바꾼다. 즉 행렬식은 행렬이 넓이나 부피를 몇 배로 바꾸는지와 방향을 뒤집는지를 함께 재는 수이며, 0이면 공간이 납작해져 역행렬이 없다.
아래 탐구 카드에서 행렬을 바꾸며 단위 정사각형이 어떤 평행사변형으로 바뀌는지 보고, 행렬식 계산에서 틀린 곳을 찾아보자.
- 행렬식은 행렬보다 먼저 연구되었다. 1683년 일본의 세키 다카카즈와 1693년 독일의 라이프니츠가 연립방정식의 해를 다루며 각각 독립적으로 행렬식을 썼고, 행렬이라는 말은 그보다 150년 넘게 지난 1850년에 생겼다.
행렬식은 행렬이 넓이나 부피를 몇 배로 바꾸는지를 재는 수이며, \(2\times2\)에서는 두 열벡터가 만드는 평행사변형의 넓이, \(3\times3\)에서는 평행육면체의 부피와 같다. 부호는 방향이 뒤집히는지를 알려 주고, 0이면 공간이 납작해져 역행렬이 없으며, \(\det(AB) = \det A\det B\)이다. 처음 질문의 행렬은 행렬식이 5여서 모든 도형의 넓이를 5배로 만든다.