선형변환의 합성과 역변환
본문스마트폰 화면의 글자 'F'를 시계 반대 방향으로 90° 돌린 뒤 \(x\)축에 대해 뒤집었다. 다른 친구는 같은 글자를 먼저 \(x\)축에 대해 뒤집은 뒤 90° 돌렸다. 두 사람이 한 일은 똑같은 두 가지인데, 결과를 겹쳐 보니 'F'의 방향이 서로 달랐다. 수에서는 \(2\times3 = 3\times2\)인데 변환에서는 왜 순서가 결과를 바꿀까? 또 비스듬히 기울어진 그림을 원래대로 되돌리는 변환은 어떻게 구할까?
2.6.1합성은 행렬의 곱
벡터 \(\vec v\)에 먼저 \(S\)를, 그다음 \(T\)를 적용하면 결과는 \(T(S(\vec v))\)이다. 두 변환의 행렬이 \(B\), \(A\)이면 이것은 \(A(B\vec v) = (AB)\vec v\)이므로, 합성 변환의 행렬은 곱 \(AB\)이다. 먼저 하는 변환이 벡터에 가까운 오른쪽에 온다. 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않으므로, \(AB\)와 \(BA\)가 다르면 두 변환을 하는 순서에 따라 결과가 다르다. 반면 두 회전이나 두 닮음은 순서를 바꾸어도 결과가 같다.
\(S\)의 행렬이 \(B\), \(T\)의 행렬이 \(A\)이면 \(T\circ S\)의 행렬은 \(AB\)이다. \(A\)가 역행렬을 가지면 \(T\)의 역변환 \(T^{-1}\)의 행렬은 \(A^{-1}\)이고, \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)이다.
합성의 역변환은 순서를 거꾸로 해야 한다. 양말을 신고 신발을 신었다면, 벗을 때는 신발을 먼저 벗고 양말을 벗는 것과 같다. 그래서 \(AB\)의 역행렬은 \(A^{-1}B^{-1}\)이 아니라 \(B^{-1}A^{-1}\)이다. 회전의 역변환은 반대 방향 회전이고, 대칭의 역변환은 자기 자신이며, \(k\)배 닮음의 역변환은 \(1/k\)배 닮음이다. 행렬식이 0인 변환은 공간을 납작하게 누르므로 역변환이 없다.1
2.6.2기울어진 그림 되돌리기
그림의 위쪽을 오른쪽으로 미는 변환 \(\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)은 \((0, 1)\)을 \((2, 1)\)로 보내 직사각형을 평행사변형으로 기울인다. 이 변환을 되돌리려면 위쪽을 같은 만큼 왼쪽으로 밀면 되므로 역변환은 \(\begin{pmatrix}1 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)이다. 두 행렬을 곱하면 단위행렬이 되어 확인할 수 있다. 여러 변환을 거친 그림을 되돌릴 때는 마지막 변환부터 하나씩 역변환을 적용한다.
2.6.3예제 풀이
그림 1의 \(R\)과 \(F\)로 \(FR\)과 \(RF\)를 계산하고, 점 \((2, 1)\)이 각각 어디로 가는지 구하여라. 또 밀기 \(S = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\) 다음 \(R\)을 한 변환의 역행렬을 구하여라.
\(FR = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\), \(RF = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)이다. \((2, 1)\)은 \(FR\)로 \((-1, -2)\), \(RF\)로 \((1, 2)\)로 가서 서로 원점에 대해 대칭인 다른 점이다.
밀기 다음 회전은 \(RS = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\)이고, 역행렬은 \(S^{-1}R^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -2\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}\)이다. 확인하면 \(\begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)이다. 즉 선형변환의 합성은 행렬의 곱이어서 순서가 결과를 바꿀 수 있고, 합성의 역변환은 나중에 한 변환부터 거꾸로 되돌린 \(B^{-1}A^{-1}\)이다.
아래 탐구 카드에서 두 변환의 순서를 바꾸어 결과를 비교하고, 뒤틀린 그림을 제자리로 되돌리는 행렬을 찾아보자.
- 루빅스 큐브를 맞추는 공식도 변환의 합성이다. 두 면을 돌리는 순서를 바꾸면 결과가 달라지는데, 이 때문에 큐브를 푸는 사람들은 여러 회전을 묶은 공식과 그 역순 공식을 함께 외운다.
먼저 \(S\)(행렬 \(B\)), 다음 \(T\)(행렬 \(A\))를 하는 합성 변환의 행렬은 \(AB\)이며, 행렬의 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않아 순서를 바꾸면 결과가 달라질 수 있다. 역변환의 행렬은 역행렬이고, 합성의 역변환은 \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)로 나중에 한 것부터 되돌린다. 처음 질문에서 회전 다음 뒤집기는 \(y = -x\) 대칭, 뒤집기 다음 회전은 \(y = x\) 대칭이어서 'F'의 방향이 달라졌다.