대칭변환·닮음변환·회전변환

사진 편집 프로그램을 직접 만들어, 원래 사진의 각 픽셀 좌표 \((x, y)\)에 회전 행렬을 곱해 새 좌표를 구하고 거기에 색을 칠했다. 90°로 돌리면 깔끔했는데, 30°로 돌리니 결과 사진 곳곳에 아무 색도 칠해지지 않은 검은 점이 뚫렸다. 회전은 넓이를 바꾸지 않으니 픽셀 수도 그대로일 텐데, 왜 빈 곳이 생길까? 회전, 대칭, 닮음 변환은 각각 어떤 행렬이고, 빈 점 없이 돌리려면 어떻게 계산해야 할까?

2.5.1기저의 행선지로 행렬 만들기

원점 둘레로 \(\theta\)만큼 돌리면 \((1, 0)\)은 \((\cos\theta, \sin\theta)\)로, \((0, 1)\)은 \((-\sin\theta, \cos\theta)\)로 간다. 이 둘을 열로 쓰면 회전 행렬이 된다. 직선 \(y = x\)에 대한 대칭은 \((1, 0)\)과 \((0, 1)\)을 서로 바꾸므로 \(\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)이고, 원점을 중심으로 \(k\)배 늘이는 닮음변환은 두 기저를 모두 \(k\)배 하므로 \(kI\)이다. 이렇게 기저 벡터가 어디로 가는지만 그려 보면 각 변환의 행렬을 바로 쓸 수 있다.

두 회전을 차례로 하면 각이 더해지므로 \(R_\alpha R_\beta = R_{\alpha + \beta}\)이다. 행렬을 곱해 성분을 비교하면 \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\)가 나와, 삼각함수의 덧셈정리가 회전 행렬의 곱셈에 그대로 들어 있다. 회전과 대칭은 모두 길이를 보존하지만, 회전은 행렬식이 1이고 대칭은 \(-1\)이다. 그래서 회전은 시계 방향의 순서를 지키고 대칭은 뒤집는다.¹

2.5.2거꾸로 찾아가면 빈 점이 없다

원래 사진의 픽셀 중심에 회전 행렬을 곱하면 결과 좌표는 대부분 정수가 아니어서 가장 가까운 픽셀로 반올림한다. 그런데 30°처럼 비스듬히 돌리면 원래 픽셀 둘이 같은 결과 픽셀로 반올림되는 곳이 생기고, 넓이는 같으므로 그만큼 아무도 찾아오지 않는 결과 픽셀이 생긴다. 그것이 빈 점이다. 그래서 실제 프로그램은 거꾸로 계산한다. 결과 사진의 각 픽셀에 역행렬 \(R_{-\theta}\)를 곱해 원래 사진의 어느 위치에서 왔는지 찾고, 그 위치의 색을 가져온다. 그러면 결과의 모든 픽셀이 색을 하나씩 받는다.

2.5.3예제 풀이

90° 회전은 \(R_{90°} = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)이므로 \((2, 1)\)은 \((-1, 2)\)로 간다. 정수 좌표가 정수 좌표로 가서 깔끔하다. 30° 회전은 \((2\cos30° - \sin30°,\ 2\sin30° + \cos30°) = (\sqrt3 - 0.5,\ 1 + \tfrac{\sqrt3}{2}) \approx (1.232, 1.866)\)으로, 반올림하면 \((1, 2)\)이다.

결과 픽셀 \((1, 2)\)에 \(R_{-30°} = \begin{pmatrix}\cos30° & \sin30°\\ -\sin30° & \cos30°\end{pmatrix}\)를 곱하면 \((0.866 + 1,\ -0.5 + 1.732) \approx (1.866, 1.232)\)이고, 원래 사진에서 가장 가까운 픽셀은 \((2, 1)\)이다. 이렇게 결과의 모든 픽셀에서 출발하면 빈 픽셀이 없다. 즉 회전, 대칭, 닮음 변환은 기저의 행선지로 행렬을 바로 쓸 수 있고, 회전 행렬의 역행렬은 반대 방향의 회전이어서 결과 픽셀에서 원래 위치를 거꾸로 찾는 데 쓴다.

아래 탐구 카드에서 회전, 대칭, 닮음 행렬로 도형을 목표 모양에 맞추어 보고, 픽셀 사진을 돌리면 구멍이 뚫리는 까닭을 확인해 보자.

1. 회전 행렬의 성분이 정확한 실수여도, 컴퓨터는 \(\cos\)과 \(\sin\)을 유한한 자릿수로 저장한다. 그래서 작은 회전을 수만 번 거듭하면 오차가 쌓여 행렬식이 1에서 조금씩 벗어나고, 게임 속 물체가 서서히 커지거나 찌그러지기도 한다.