직교행렬과 직교대각화
본문반지름 1인 원 위의 모든 점에 대칭행렬 \(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\)을 곱했더니 원이 비스듬히 누운 타원으로 바뀌었다. 타원의 긴 축은 \(y = x\) 방향으로 길이가 3, 짧은 축은 \(y = -x\) 방향으로 길이가 1이었고, 두 축은 정확히 수직이었다. 대칭이 아닌 행렬 \(\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)의 고유벡터 \((1, 0)\)과 \((1, -1)\)은 서로 수직이 아닌데, 대칭행렬의 고유벡터는 왜 늘 수직일까?
3.4.1대칭행렬의 고유벡터는 수직이다
전치행렬 \(A^T\)가 자기 자신과 같은 행렬, 곧 대각선을 사이에 두고 성분이 대칭인 행렬을 대칭행렬이라 한다. 대칭행렬은 내적에 대해 특별한 성질을 가진다. 모든 벡터 \(\vec u\), \(\vec v\)에 대해 \((A\vec u)\cdot\vec v = \vec u\cdot(A\vec v)\)이다. 서로 다른 고윳값 \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)의 고유벡터 \(\vec v_1\), \(\vec v_2\)에 이것을 쓰면 \(\lambda_1(\vec v_1\cdot\vec v_2) = \lambda_2(\vec v_1\cdot\vec v_2)\)이고, \(\lambda_1 \ne \lambda_2\)이므로 \(\vec v_1\cdot\vec v_2 = 0\)이다. 그래서 대칭행렬의 서로 다른 고윳값의 고유벡터는 늘 수직이다.
열벡터들이 정규직교인 행렬 \(Q\)를 직교행렬이라 하며 \(Q^{-1} = Q^T\)이다. 실수 대칭행렬 \(A\)는 고윳값이 모두 실수이고, 단위 고유벡터를 열로 하는 직교행렬 \(Q\)로 \[A = QDQ^T\]처럼 대각화된다. 이것을 직교대각화라 한다.
직교행렬은 길이와 각을 보존하므로 회전이나 대칭이다. 그래서 \(A = QDQ^T\)는 대칭행렬이 하는 일을 세 단계로 나누어 보여 준다. 먼저 \(Q^T\)로 돌려 고유벡터를 좌표축에 맞추고, \(D\)로 각 축을 고윳값만큼 늘인 뒤, \(Q\)로 다시 돌려 놓는다. 원을 축 방향으로 늘이면 타원이 되므로, 대칭행렬은 원을 고유벡터 방향이 축인 타원으로 바꾸고, 반축의 길이는 고윳값의 절댓값이다. 역행렬을 구할 필요 없이 전치만 하면 되어 계산도 쉽다.1
3.4.2대칭이 아니면
대칭이 아닌 행렬은 고유벡터가 수직이 아닐 수 있고, 아예 실수 고유벡터가 없을 수도 있다. \(\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}\)은 고윳값이 2와 1이고 고유벡터가 \((1, 0)\)과 \((1, -1)\)이어서 45°로 만난다. 이 행렬도 원을 타원으로 바꾸지만, 타원의 축이 고유벡터 방향과 일치하지 않는다. 회전 행렬은 실수 고윳값이 없다. 대칭행렬만이 언제나 서로 수직인 실수 고유벡터의 축을 가져, 길이를 재는 정규직교기저 위에서 늘이기만 하는 변환으로 볼 수 있다.
3.4.3예제 풀이
대칭행렬 \(A = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}\)을 직교대각화하여라. 단위원 위의 점 \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)\)과 \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\)은 어디로 가는가? 바뀐 타원의 방정식을 고유벡터 좌표로 써라.
고윳값은 3과 1이고 고유벡터는 \((1, 1)\)과 \((1, -1)\)로, 내적이 0이어서 수직이다. 길이를 1로 맞추면 \(Q = \dfrac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}\)이고, \(Q^TQ = I\)이며 \(A = Q\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}Q^T\)이다.
\(\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\right)\)은 고유벡터이므로 3배가 되어 \(\left(\tfrac{3}{\sqrt2}, \tfrac{3}{\sqrt2}\right)\)으로, 원점에서 거리 3인 곳으로 간다. \(\left(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\right)\)은 고윳값 1이어서 그대로이다. 고유벡터 방향의 좌표를 \(X\), \(Y\)라 하면 원 \(X^2 + Y^2 = 1\)은 \(\dfrac{X^2}{9} + Y^2 = 1\)인 타원으로 바뀐다. 즉 대칭행렬의 고유벡터는 서로 수직이어서 직교행렬로 대각화되며, 대칭행렬은 그 수직인 축을 따라 공간을 고윳값만큼 늘이는 변환이다.
아래 탐구 카드에서 대칭행렬이 원을 어떤 타원으로 바꾸는지 보고, 대칭행렬의 고유벡터가 수직임을 증명해 보자.
- 물체의 관성이나 재료 속 응력은 대칭행렬로 나타내며, 직교대각화로 찾은 서로 수직인 축을 주축이라 한다. 휴대폰을 공중에 던져 돌릴 때 가장 긴 축과 가장 짧은 축 둘레로는 안정하게 돌지만 가운데 축 둘레로는 뒤집히며 도는 것도 이 주축과 관계가 있다.
대칭행렬은 \((A\vec u)\cdot\vec v = \vec u\cdot(A\vec v)\)를 만족해 서로 다른 고윳값의 고유벡터가 수직이고, 단위 고유벡터를 열로 하는 직교행렬 \(Q\)로 \(A = QDQ^T\)처럼 직교대각화된다. 그래서 대칭행렬은 서로 수직인 축을 따라 공간을 늘이는 변환이며, 원을 그 축이 장축과 단축인 타원으로 바꾼다. 처음 질문의 행렬은 \((1, 1)\) 방향으로 3배, \((1, -1)\) 방향으로 1배 늘여 단위원을 수직인 두 축을 가진 타원으로 만든다.