정규직교기저

기저 \((2, 1)\), \((1, 2)\)로 점의 좌표를 구하려면 매번 연립방정식을 풀어야 한다. 그런데 서로 수직이고 길이가 1인 기저를 쓰면, 좌표가 점과 기저 벡터의 내적 한 번으로 바로 나온다. 예를 들어 \(\vec u_1 = (0.6, 0.8)\), \(\vec u_2 = (0.8, -0.6)\)을 기저로 쓰면 점 \((2, 1)\)의 좌표는 \((2, 1)\cdot\vec u_1 = 2\)와 \((2, 1)\cdot\vec u_2 = 1\)이다. 비스듬한 벡터 \((3, 4)\)와 \((1, 0)\)에서 이런 직각 자를 만들어 낼 수 있을까?

1.8.1내적 한 번으로 좌표를

기저 벡터들이 서로 수직이고 길이가 모두 1이면 정규직교기저라 한다. \(\vec v = c_1\vec u_1 + c_2\vec u_2\)의 양변에 \(\vec u_1\)을 내적하면, \(\vec u_1\cdot\vec u_1 = 1\), \(\vec u_2\cdot\vec u_1 = 0\)이므로 \(\vec v\cdot\vec u_1 = c_1\)만 남는다. 그래서 각 좌표는 연립방정식을 풀 필요 없이 그 기저 벡터와의 내적 한 번으로 구해진다. 표준기저 \((1, 0)\), \((0, 1)\)이 편리한 것도 정규직교기저이기 때문이고, 돌린 좌표축처럼 다른 정규직교기저를 써도 같은 편리함을 누릴 수 있다.

둘째 벡터에서 첫째 방향의 정사영을 빼면 남는 부분은 첫째 벡터에 수직이다. 정사영의 오차가 늘 수직이었던 것과 같은 이치이다. 셋째 벡터가 있으면 앞의 두 방향으로의 정사영을 모두 빼고 남은 부분을 정규화한다. 그래서 비스듬한 기저에서 출발해도 같은 공간을 생성하는 직각 자를 차례로 만들 수 있다. 처음 벡터들이 일차종속이면 어느 단계에서 남는 부분이 영벡터가 되어 과정이 멈추므로, 이 과정은 일차독립을 판정하는 데도 쓰인다.¹

1.8.2길이와 각이 그대로이다

정규직교기저로 바꾼 좌표에서는 길이와 내적이 표준좌표에서와 똑같이 계산된다. \(\vec v\)의 좌표가 \((c_1, c_2)\)이면 \(|\vec v|^2 = c_1^2 + c_2^2\)이다. 비스듬한 기저의 좌표로는 이렇게 계산할 수 없는데, 기저 벡터끼리의 내적이 0이 아니어서 교차하는 항이 남기 때문이다. 그래서 정규직교기저는 좌표축을 돌리거나 뒤집은 것과 같고, 도형의 모양과 크기를 바꾸지 않는다.

1.8.3예제 풀이

\(\vec u_1 = (3, 4)/5 = (0.6, 0.8)\)이다. \(\vec v_2\cdot\vec u_1 = 0.6\)이므로 \(\vec w_2 = (1, 0) - 0.6(0.6, 0.8) = (0.64, -0.48)\)이고, 길이 \(\sqrt{0.4096 + 0.2304} = 0.8\)로 나누면 \(\vec u_2 = (0.8, -0.6)\)이다. \(\vec u_1\cdot\vec u_2 = 0.48 - 0.48 = 0\)이다.

\((2, 1)\)의 좌표는 \((2\times0.6 + 1\times0.8,\ 2\times0.8 - 1\times0.6) = (2, 1)\)이고, \((-1, 7)\)의 좌표는 \((-0.6 + 5.6,\ -0.8 - 4.2) = (5, -5)\)이다. 길이를 확인하면 \(|(-1, 7)|^2 = 50\)이고 좌표로는 \(5^2 + (-5)^2 = 50\)으로 같다. 즉 정규직교기저에서는 좌표를 내적 한 번으로 구하고 길이와 각이 그대로 보존되며, 그람–슈미트 과정은 앞 방향으로의 정사영을 빼고 정규화해 비스듬한 기저를 정규직교기저로 바꾼다.

아래 탐구 카드에서 비스듬한 두 벡터로 그람–슈미트 과정을 따라가 직각 자를 만들고, 정규직교기저의 좌표가 내적 한 번으로 나오는지 확인해 보자.

1. 이 과정은 덴마크의 그람이 1883년, 독일의 슈미트가 1907년에 발표했다. 컴퓨터로 계산할 때는 반올림 오차가 쌓여 수직이 조금씩 무너지므로, 앞 벡터의 성분을 하나씩 다시 빼는 수정된 그람–슈미트 과정을 주로 쓴다.