정사영

한낮에 해가 머리 위에 있으면 막대의 그림자는 짧아지고, 판자의 그림자는 판자를 눕힐수록 넓어집니다. 빛이 평면에 수직으로 비칠 때 생기는 그림자를 정사영이라고 합니다. 이 절에서는 선분과 도형을 기울이며 정사영의 길이와 넓이가 원래 값과 어떤 관계인지 찾습니다.

먼저 알면 좋은 것 직선과 평면의 수직 이면각 삼각비

본문

정사영

본문

한낮에 해가 바로 머리 위에 있을 때, 땅에 비스듬히 세운 막대의 그림자는 막대보다 짧다. 기울어진 태양광 패널의 그림자도 패널보다 작다. 기울기에 따라 그림자의 길이와 넓이는 어떤 규칙으로 줄어들까?

평면과 이루는 각 \(\theta\) (°)

그림 1. 길이 4인 선분(파랑)의 정사영(주황)은 \(4\cos\theta\)이다. 오른쪽은 위에서 내려다본 판(파랑)과 그 정사영(주황)으로, 넓이도 \(\cos\theta\)배가 된다.

먼저 알아야 할 것직선과 평면의 수직(직선과 평면의 위치 관계), 이면각(삼수선 정리), 삼각비.

2.3.1정사영과 선분의 길이

점 P에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 P′을 점 P의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이라 한다. 그리고 도형 위의 모든 점의 정사영을 모은 것이 도형의 정사영이다. 햇빛이 평면에 수직으로 비칠 때의 그림자라고 생각하면 된다.

정리 2.3.1 정사영의 길이

선분 AB와 평면 \(\alpha\)가 이루는 각이 \(\theta\)이면, 선분 AB의 평면 위로의 정사영 A′B′의 길이는 \[\overline{A'B'} = \overline{AB}\cos\theta\] 이다.

왜냐하면 선분 AB와 그 정사영은 수직선 두 개와 함께 직각삼각형(또는 사다리꼴)을 이루므로, 정사영은 빗변에 대한 밑변처럼 \(\cos\theta\)배가 되기 때문이다. 그림 1에서 각을 0°에서 90°로 늘려 보자. 0°이면 정사영의 길이가 그대로 4이고, 90°이면 점이 되어 길이가 0이다.

2.3.2정사영의 넓이

평면 \(\beta\) 위의 도형을 평면 \(\alpha\)에 정사영하자. 두 평면의 교선에 나란한 방향의 길이는 변하지 않고, 교선에 수직인 방향의 길이만 \(\cos\theta\)배가 된다. 따라서 도형을 교선에 수직인 가는 띠로 잘라 생각하면 띠마다 넓이가 \(\cos\theta\)배가 되므로, 전체 넓이도 \(\cos\theta\)배이다.¹

정리 2.3.2 정사영의 넓이

평면 \(\beta\) 위의 넓이 \(S\)인 도형을 평면 \(\alpha\) 위에 정사영한 도형의 넓이를 \(S'\)이라 하면, 두 평면이 이루는 각 \(\theta\)에 대하여 \[S' = S\cos\theta\]

그림 2. 정사영은 교선에 나란한 방향(가로)의 길이는 그대로 두고, 수직인 방향(세로)만 \(\cos\theta\)배로 줄인다.

2.3.3예제 풀이

예제 2.3.3

한 변의 길이가 2인 정사면체 ABCD에서 면 ABC를 밑면 BCD 위로 정사영한 넓이를 구하고, 두 면이 이루는 각 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)를 구하여라.

A에서 밑면에 내린 수선의 발은 정삼각형 BCD의 무게중심 G이다. 면 ABC의 정사영은 삼각형 GBC이고, 그 넓이는 정삼각형 BCD 넓이의 \(\dfrac{1}{3}\)이다. 정삼각형 BCD의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 2^2 = \sqrt{3}\)이므로 정사영의 넓이는 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이다.

면 ABC의 넓이도 \(\sqrt{3}\)이므로 \(S' = S\cos\theta\)에서 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}\cos\theta\), 곧 \(\cos\theta = \dfrac{1}{3}\)이다. 정사면체의 이웃한 두 면은 약 70.5°로 벌어져 있다. 이면각을 직접 재지 않고 넓이의 비로 구한 것이다.

아래 탐구 카드에서 막대와 판을 기울이며 정사영의 길이와 넓이가 줄어드는 규칙을 직접 확인해 보자.

태양광 패널이 받는 햇빛의 양도 같은 원리로 정해진다. 햇빛과 패널이 수직일 때 가장 많이 받고, 기울어진 만큼 받는 넓이가 \(\cos\)배로 줄어든다.

마무리

점에서 평면에 내린 수선의 발이 정사영이며, 평면과 \(\theta\)를 이루는 선분의 정사영 길이는 \(\cos\theta\)배, 평면과 \(\theta\)를 이루는 도형의 정사영 넓이도 \(\cos\theta\)배이다. 그래서 처음 질문의 기울어진 판의 그림자 넓이는 판의 넓이에 땅과 이루는 각의 코사인을 곱하여 구한다.

탐구 1

막대를 기울이면 그림자 길이는 어떤 규칙으로 줄어들까?

정사영 · 선분과 평면이 이루는 각

AB와 \(\alpha\)가 이루는 각 \(\theta\) 40°

길이 AB 4

선분의 높이 2.5

AB: —
\(A'B'\): —
\(A'B' \div AB\): —
\(\cos \theta\): —

점선은 끝점에서 \(\alpha\)에 내린 수선이고, 초록 점선은 A를 지나 \(A'B'\)에 평행하게 그은 보조선이다. 그림을 옆으로 끌면 돌려 볼 수 있다.

질문길이 4인 막대를 땅과 \(40^\circ\)로 기울여 들고, 해가 머리 바로 위에 있으면 그림자의 길이는 얼마일까? 막대를 높이 들면 그림자가 달라질까?
복원점 P에서 평면 \(\alpha\)에 내린 수선의 발 \(P'\)을 P의 \(\alpha\) 위로의 정사영이라 하고, 도형 F에 속한 모든 점의 정사영으로 이루어진 도형 \(F'\)을 F의 정사영이라고 한다. 그리고 직각삼각형에서 \(\cos \theta\)는 빗변에 대한 밑변의 비이다.
설명선분 AB가 평면 \(\alpha\)와 평행하지도 수직이지도 않을 때, 직선 AB와 그 정사영 \(A'B'\)이 이루는 각 \(\theta\)를 선분 AB와 평면 \(\alpha\)가 이루는 각이라고 한다. A를 지나 \(A'B'\)에 평행한 직선이 \(BB'\)과 만나는 점을 C라 하면 \(AC = A'B'\)이고 \(\triangle ABC\)는 \(\angle ACB = 90^\circ\)인 직각삼각형이므로, \(A'B' = AB \cos \theta\) \((0^\circ \le \theta \le 90^\circ)\)이다. 그리고 \(AB \parallel \alpha\)이면 \(\theta = 0^\circ\)로 보아 \(A'B' = AB\)이고, \(AB \perp \alpha\)이면 \(\theta = 90^\circ\)이고 정사영은 한 점이다.
연결\(BC \perp AC\)인 까닭은 \(BB' \perp \alpha\)이므로 \(BB'\)이 \(\alpha\) 위의 직선 \(A'B'\), 그리고 그와 평행한 AC에 수직이기 때문이다. 같은 생각을 도형 전체로 넓히면 정사영의 넓이 공식이 나온다.
적용\(\theta\)를 \(0^\circ\)에서 \(90^\circ\)까지 바꾸며 \(A'B' \div AB\)와 \(\cos \theta\)가 언제나 같은지 비교해 보자. 그리고 높이를 바꾸어도 \(A'B'\)이 그대로인지, 높이를 낮추어 선분이 \(\alpha\)를 뚫고 지나갈 때에도 같은 식이 성립하는지, \(\theta = 90^\circ\)일 때 정사영이 어떤 도형인지 확인해 보자.
판단정사영의 길이는 원래 길이보다 길어질 수 없다\((\cos \theta \le 1)\). 그림자가 막대보다 길게 생기는 저녁의 그림자는 햇빛이 비스듬히 비친 것이라 정사영이 아니다. 또 \(\theta\)는 직선 AB와 평면 사이의 각이므로 \(0^\circ\)와 \(90^\circ\) 사이로 정하며, 평면의 수선과 AB가 이루는 각을 \(\theta\)로 착각하면 \(\sin\)과 \(\cos\)이 뒤바뀐다.

확인조건이 달라지면

길이가 6인 선분 AB가 평면 \(\alpha\)와 \(60^\circ\)의 각을 이룬다. 선분 AB의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영의 길이는?

탐구 2

기울어진 판의 그림자 넓이는 어떻게 구할까?

정사영의 넓이 · \(S' = S \cos \theta\)

두 평면이 이루는 각 \(\theta\) 50°

\(\beta\) 안에서 도형 돌리기 20°

도형의 넓이 S: —
정사영의 넓이 \(S'\): —
\(S' \div S\): —
\(\cos \theta\): —

\(\beta\)는 \(\alpha\)와 \(\theta\)의 각을 이루는 평면이고, 굵은 점선은 두 평면의 교선에 평행한 방향이다. 넓이는 꼭짓점 좌표로 계산한 값이며(원은 360각형으로 계산), 그림을 옆으로 끌면 돌려 볼 수 있다.

질문넓이 4인 판을 바닥과 \(50^\circ\)로 기울여 두고 바로 위에서 빛을 비추면 바닥에 생기는 그림자의 넓이는 얼마일까? 판의 모양이나 놓인 방향이 달라지면 답이 달라질까?
복원선분 AB의 정사영의 길이는 \(AB \cos \theta\)이다. 그리고 두 평면이 이루는 각은 교선 위의 한 점에서 각 평면 위에 교선에 수직인 반직선을 그어 잰 각이다.
설명평면 \(\beta\) 위의 도형 넓이가 S이고 \(\beta\)와 \(\alpha\)가 이루는 각이 \(\theta\)일 때, 도형의 \(\alpha\) 위로의 정사영 넓이는 \(S' = S \cos \theta\)이다. 먼저 한 변이 두 평면의 교선에 평행한 직사각형을 생각하면, 교선 방향의 변은 길이가 그대로이고 교선에 수직인 변은 \(\cos \theta\)배가 되므로 넓이도 \(\cos \theta\)배이다. 일반 도형은 교선 방향으로 가느다란 직사각형 띠 여러 개로 나누어 볼 수 있고, 띠 하나하나가 \(\cos \theta\)배가 되므로 전체 넓이도 \(\cos \theta\)배이다.
연결원을 기울이면 정사영은 교선 방향으로는 반지름이 그대로이고 수직 방향으로는 \(\cos \theta\)배 줄어든 타원이 되어, 넓이는 \(\pi r^2 \cos \theta\)이다. 거꾸로 S와 \(S'\)을 알면 \(\cos \theta = S' \div S\)로 두 평면이 이루는 각을 구할 수 있다.
적용세 도형을 차례로 고르고 \(\theta\)를 바꾸며 \(S' \div S\)와 \(\cos \theta\)를 비교해 보자. 그리고 도형을 \(\beta\) 안에서 돌려도 \(S'\)이 그대로인지, 원을 고르고 \(\theta = 60^\circ\)에 맞추면 정사영이 어떤 모양이고 넓이가 원의 몇 배인지 확인해 보자.
판단\(S' = S \cos \theta\)는 도형이 한 평면 위에 있을 때만 바로 쓴다. 정육면체의 겉면처럼 여러 면으로 된 도형은 면마다 따로 계산해 더하되, 정사영끼리 겹치는 부분을 두 번 세지 않도록 해야 한다. 또 \(\theta\)는 두 평면이 이루는 각이지 도형의 한 변과 평면이 이루는 각이 아니므로, 교선에 평행하지 않은 변의 기울기를 \(\theta\)로 쓰면 값이 틀린다.

확인조건이 달라지면

넓이가 12인 삼각형이 평면 \(\alpha\)와 \(30^\circ\)의 각을 이루는 평면 위에 있다. 이 삼각형의 \(\alpha\) 위로의 정사영의 넓이는?

AI 출제 문항연습문제 풀어보기15문항 수능·모의평가·학력평가기출문제 풀어보기50문항