직선과 평면의 위치 관계
본문공책 위에 그은 두 직선은 만나지 않으면 평행하다. 그런데 교실을 둘러보면, 칠판 위쪽 모서리와 바닥의 옆 벽 쪽 모서리는 아무리 늘여도 만나지 않지만 나란하지도 않다. 공간에서 두 직선은 어떤 관계를 가질 수 있을까? 그리고 직선이 평면에 수직이라는 것은 어떻게 확인할까?
2.1.1평면의 결정 조건
세 다리 의자는 바닥이 울퉁불퉁해도 흔들리지 않지만 네 다리 의자는 흔들릴 수 있다. 사진기 받침대가 다리 세 개인 것도 같은 까닭이다. 세 다리의 끝이 늘 한 평면을 정하기 때문이다. 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면은 오직 하나이기 때문이다. 평면이 하나로 정해지는 조건을 평면의 결정 조건이라 한다.
한 직선 위에 있지 않은 세 점, 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점, 한 점에서 만나는 두 직선, 평행한 두 직선은 각각 평면을 하나로 정한다.
2.1.2두 직선, 직선과 평면, 두 평면의 위치 관계
공간에서 서로 다른 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 꼬인 위치에 있다. 앞의 두 경우는 두 직선이 한 평면 위에 있지만, 꼬인 위치의 두 직선은 어떤 평면에도 함께 놓이지 않는다. 그래서 '만나지 않는다'와 '평행하다'는 공간에서 같은 말이 아니다. 그림 1의 정육면체를 돌려 보며 확인해 보자.
직선과 평면은 직선이 평면에 포함되거나, 한 점에서 만나거나, 평행하다. 서로 다른 두 평면은 한 직선(교선)에서 만나거나 평행하다. 평행한 두 평면을 다른 평면으로 자르면 두 교선은 서로 평행하다. 두 교선은 한 평면 위에 있으면서 만나지 않기 때문이다. 만약 만난다면 그 점은 평행한 두 평면에 동시에 있어야 하는데, 평행한 두 평면에는 공통인 점이 없다.1
직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\) 위의 한 점에서 만나는 서로 다른 두 직선에 각각 수직이면, \(l\)은 평면 \(\alpha\)에 수직이다(\(l \perp \alpha\)). 이때 \(l\)은 평면 위의 모든 직선과 수직이다. 평면 위의 직선이 \(l\)이 지나는 점을 지나지 않아도, 평행이동하여 생각하면 수직이다.
2.1.3예제 풀이
정육면체 ABCD-EFGH의 모서리 가운데 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리를 모두 찾고 그 개수를 구하여라. (윗면 EFGH는 각각 A, B, C, D 바로 위에 있다.)
모서리는 12개이다. AB 자신을 빼면 11개가 남는다. AB와 한 점에서 만나는 모서리는 A나 B를 지나는 AD, AE, BC, BF의 4개이다. AB와 평행한 모서리는 DC, EF, HG의 3개이다.
나머지 \(11 - 4 - 3 = 4\)개, 곧 CG, DH, EH, FG가 꼬인 위치에 있다. 실제로 CG는 AB를 포함하는 밑면 ABCD를 C에서 뚫고 올라가며, AB와 평행하지도 않다. 정육면체의 한 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리는 언제나 4개이다.
아래 탐구 카드에서 평면의 결정 조건, 두 직선의 위치 관계, 직선과 평면의 수직, 평행한 평면의 교선을 직접 따져 보자.
- 두 평면이 이루는 각은 교선 위의 한 점에서 교선에 수직으로 각 평면에 그은 두 반직선 사이의 각으로 잰다. 이를 이면각이라 하며, 다음 절에서 다룬다.
한 직선 위에 있지 않은 세 점처럼 평면을 하나로 정하는 조건이 있고, 공간의 두 직선은 만나거나 평행하거나 꼬인 위치에 있다. 직선이 평면 위의 두 직선에 수직이면 평면에 수직이다. 그래서 처음 질문의 두 모서리는 만나지 않지만 한 평면에 놓이지 않는 꼬인 위치이므로, 공간에서 만나지 않는 두 직선이 늘 평행한 것은 아니다.