삼수선 정리

평평한 마당에 기둥이 수직으로 서 있고, 기둥 꼭대기에서 마당 위의 곧은 담장까지 가장 짧은 줄을 매달려 한다. 줄을 어느 지점에 매야 가장 짧을까? 공중에서 직접 직각을 재기는 어렵다. 그런데 기둥 밑동에서 담장에 수선을 그어 보면 답이 나온다고 한다. 왜 그럴까?

기둥의 높이 \(\overline{PH}\)

2.2.1삼수선 정리

평면 \(\alpha\) 밖의 점 P에서 평면에 내린 수선의 발을 H, 평면 위의 직선 \(l\) 위의 점을 O라 하자. 세 개의 수직 관계 사이에는 다음 정리가 성립한다.

(1)을 보이자. \(\overline{PH} \perp \alpha\)이므로 \(\overline{PH}\)는 평면 위의 직선 \(l\)에 수직이다. 또 \(\overline{HO} \perp l\)이다. 그러므로 \(l\)은 평면 PHO 위의 한 점에서 만나는 두 직선 PH, HO에 수직이고, 앞 절의 정리에 의해 평면 PHO에 수직이다. 따라서 \(l\)은 그 평면 위의 직선 PO에도 수직이다.

그림 1에서 기둥의 높이를 바꾸어 보자. P가 어디에 있든 H에서 \(l\)에 내린 수선의 발 O가 곧 P에서 \(l\)에 내린 수선의 발이다. 공중의 직각을 평면 위의 직각 하나로 찾은 것이다.¹

2.2.2이면각

두 평면이 교선 \(l\)에서 만날 때, \(l\) 위의 한 점에서 각 평면 위에 \(l\)에 수직인 반직선을 그으면 두 반직선이 이루는 각이 두 평면이 이루는 각, 곧 이면각이다. 삼수선 정리를 쓰면 이면각을 찾기 쉽다. 한 평면 위의 점 P에서 다른 평면에 수선 PH를, H에서 교선에 수선 HO를 그으면 \(\angle POH\)가 이면각이다.

2.2.3예제 풀이

H에서 도로에 내린 수선의 발 O에 대하여 \(\overline{HO} = 6\)이다. 삼수선 정리 (1)에 의해 \(\overline{PO} \perp\) 도로이므로 P에서 도로까지의 최단 거리는 \(\overline{PO}\)이다. \(\overline{PO} = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\) m이다.

도로를 교선으로 하는 두 평면, 곧 P와 도로를 포함하는 평면과 지면이 이루는 이면각은 \(\angle POH\)이다. \(\tan\theta = \dfrac{\overline{PH}}{\overline{HO}} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)이고, \(\theta \approx 53°\)이다.

아래 탐구 카드에서 평면 위의 수선 하나로 공중의 수선을 찾고, 두 평면이 벌어진 각을 재어 보자.

1. 삼수선 정리는 세 개의 수선(PH, HO, PO)에 관한 정리라서 붙은 이름이다. 공간의 직각을 평면의 직각으로 바꾸어 다루게 해 주므로 공간도형 문제에서 자주 쓰인다.