삼각함수와 그래프

관람차의 바구니는 일정한 빠르기로 원을 돈다. 바구니의 높이를 시간에 따라 그래프로 그리면 오르내리는 물결 모양이 된다. 이 물결을 나타내는 함수는 무엇이고, 중학교에서 직각삼각형으로 배운 사인, 코사인과는 어떻게 이어질까?

각 \(\theta\) (도)

2.2.1원으로 정하는 삼각함수

중학교에서는 직각삼각형으로 \(\sin\theta = \dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}\)이라 했다. 그런데 이 정의는 \(0^\circ < \theta < 90^\circ\)에서만 쓸 수 있다. \(150^\circ\)나 \(-60^\circ\)인 직각삼각형은 없기 때문이다. 그래서 원을 써서 정의를 넓힌다.

원점을 중심으로 하는 반지름 \(r\)인 원 위에, 동경이 각 \(\theta\)를 나타내는 점 \(P(x, y)\)를 잡자. \(\theta\)가 예각이면 \(\dfrac{y}{r}\)이 바로 중학교의 \(\sin\theta\)이다. 이 비를 모든 각에서 그대로 쓰면 정의가 넓어진다.

정의에서 \(x^2 + y^2 = r^2\)이므로 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)이 언제나 성립한다. 또 \(\sin\theta\)의 부호는 \(P\)의 \(y\)좌표의 부호와 같으므로, 제1, 2사분면에서 양수, 제3, 4사분면에서 음수이다. 그림 1에서 \(\theta = 150^\circ\)이면 \(P\)는 제2사분면에 있고 \(\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2}\), \(\cos 150^\circ = -\tfrac{\sqrt{3}}{2}\)이다.

2.2.2그래프와 주기

그림 1의 슬라이더로 \(\theta\)를 0에서 \(720^\circ\)까지 움직여 보자. 점 \(P\)의 높이는 0에서 1로 올랐다가 0, \(-1\), 다시 0으로 돌아오며, 한 바퀴 \(2\pi\)마다 같은 모양을 되풀이한다. 이렇게 일정한 간격마다 같은 값이 되풀이되는 함수를 주기함수라 하고, 그 가장 작은 간격을 주기라 한다.

\(y = a\sin(bx) + c\)처럼 계수를 붙이면, \(|a|\)는 물결의 높이(최댓값과 최솟값)를, \(b\)는 주기 \(\dfrac{2\pi}{|b|}\)를, \(c\)는 물결의 가운데 높이를 바꾼다.¹

2.2.3예제 풀이

바구니는 중심 높이 \(2 + 20 = 22\) m를 기준으로 위아래 20 m씩 오르내리므로 \(c = 22\)이고 \(|a| = 20\)이다. \(t = 0\)에서 가장 낮으므로 \(\cos 0 = 1\)일 때 최솟값이 되어야 해서 \(a = -20\)이다.

주기가 12분이므로 \(\dfrac{2\pi}{b} = 12\), 곧 \(b = \dfrac{\pi}{6}\)이다. 따라서 \(h = -20\cos\dfrac{\pi t}{6} + 22\)이다.

4분 뒤에는 \(\cos\dfrac{4\pi}{6} = \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)이므로 \(h = -20 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 22 = 32\) m이다. 한 바퀴의 3분의 1을 돌아 동경이 \(120^\circ\) 돌았으니, 중심보다 \(20\sin 30^\circ = 10\) m 위라는 그림의 판단과 같다. 아래 탐구 카드에서 단위원과 그래프를 함께 움직이며 계수의 역할을 직접 확인해 보자.

1. \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\), \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\)처럼 각을 바꾼 삼각함수의 값은 단위원 위의 점을 대칭이동해 보면 바로 얻을 수 있다.