역삼각함수

공학용 계산기에서 \(\sin 2\)(라디안)를 계산하니 0.909가 나왔다. 이 값에 다시 \(\sin^{-1}\) 단추를 누르면 2로 돌아올 줄 알았는데 1.1416이 나왔다. \(\sin 5\)에 \(\sin^{-1}\)을 누르면 5 대신 \(-1.283\)이 나왔다. 역함수는 원래 함수가 한 일을 되돌리는 함수인데, 왜 원래 값으로 돌아오지 않을까? 계산기는 어떤 규칙으로 하나의 값을 고를까?

1.3.1잘라야 역함수가 생긴다

역함수가 있으려면 함수가 일대일이어야 한다. 그런데 사인함수는 \(\sin(\pi/6) = \sin(5\pi/6) = \sin(13\pi/6) = 1/2\)처럼 같은 값을 끝없이 많은 \(x\)에서 가지므로, 그대로는 역함수가 없다. 그래서 사인함수의 정의역을 한 구간으로 잘라, 그 안에서는 증가만 하고 \(-1\)부터 1까지의 모든 값을 한 번씩 갖도록 한다. 원점을 지나며 증가하는 구간 \([-\pi/2, \pi/2]\)를 고르는 것이 약속이고, 이렇게 자른 사인함수의 역함수가 \(\arcsin x\)이다.

코사인함수는 원점 근처에서 증가하다 감소하므로 같은 구간을 쓸 수 없고, 감소만 하는 \([0, \pi]\)를 고른다. 탄젠트함수는 \((-\pi/2, \pi/2)\)에서 모든 실수 값을 한 번씩 가지므로 그 구간을 쓴다. 역함수의 그래프는 자른 원래 그래프를 직선 \(y = x\)에 대해 대칭으로 옮긴 것이어서, \(\arctan x\)의 그래프에는 \(y = \pm\pi/2\)인 가로 점근선이 생긴다.¹

1.3.2\(\arcsin(\sin x)\)의 톱니

\(\arcsin(\sin x)\)는 \(\sin x\)와 같은 사인값을 가지면서 \([-\pi/2, \pi/2]\) 안에 있는 각을 돌려준다. \(x\)가 이 구간 안에 있으면 \(x\) 자신이 그런 각이다. 반면 \(x\)가 \(\pi/2\)와 \(3\pi/2\) 사이에 있으면 \(\sin(\pi - x) = \sin x\)이고 \(\pi - x\)가 구간 안에 있으므로 값은 \(\pi - x\)이다. 그래서 그래프는 기울기 1과 \(-1\)인 선분이 주기 \(2\pi\)로 번갈아 이어지는 톱니 모양이 된다. 계산기는 이 규칙에 따라 늘 \([-\pi/2, \pi/2]\) 안의 값 하나를 고른다.

1.3.3예제 풀이

2는 \(\pi/2 \approx 1.571\)과 \(3\pi/2 \approx 4.712\) 사이에 있으므로 \(\arcsin(\sin 2) = \pi - 2 \approx 1.1416\)이다. 계산기의 값과 같다. 5는 \(3\pi/2\)와 \(5\pi/2\) 사이에 있고, 그 구간에서는 \(x - 2\pi\)가 \([-\pi/2, \pi/2]\)에 들어가며 사인값이 같으므로 \(\arcsin(\sin 5) = 5 - 2\pi \approx -1.283\)이다.

\(\arccos(\cos 5)\)는 \([0, \pi]\) 안에서 코사인값이 \(\cos 5\)와 같은 각이다. \(\cos(2\pi - 5) = \cos 5\)이고 \(2\pi - 5 \approx 1.283\)은 \([0, \pi]\) 안에 있으므로 값은 \(2\pi - 5 \approx 1.283\)이다. 같은 5를 넣어도 \(\arcsin\)과 \(\arccos\)가 고르는 각이 다르다. 즉 역삼각함수는 정의역을 자른 삼각함수의 역함수여서, 원래 값이 자른 구간 밖에 있으면 같은 삼각함수값을 갖는 구간 안의 각으로 바뀌어 돌아온다.

아래 탐구 카드에서 사인함수의 여러 구간을 잘라 역함수가 생기는지 확인하고, \(\arcsin(\sin x)\)의 그래프를 예측해 그려 보자.

1. 계산기의 \(\sin^{-1}\)은 \(1/\sin\)이 아니라 역함수를 뜻한다. 이 혼동을 피하려고 많은 책은 \(\arcsin\)이라는 이름을 쓰는데, 단위원에서 사인값이 \(x\)인 호(arc)의 길이라는 뜻이다.