합성함수

하나의 함수에서 나온 값을 다른 함수에 다시 넣으면 새로운 함수가 생깁니다. 이 절에서는 화살표 그림으로 두 함수를 이어 붙이는 과정을 따라가며 합성함수의 뜻을 익히고, 순서를 바꾸면 결과가 달라지는지 확인합니다. 이어서 일차함수와 이차함수를 합성해 식과 값을 구하고, 그래프 위에서도 그 값을 찾아봅니다.

먼저 알면 좋은 것 함수의 뜻과 함숫값 정의역과 치역항등함수다항식의 전개

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합성함수

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어떤 옷가게가 모든 옷을 먼저 20% 할인하고, 할인한 값에서 다시 3,000원을 깎아 준다. 원래 값 \(x\)원에서 최종 값까지 가는 과정을 함수 하나로 쓸 수 있을까? 그리고 3,000원을 먼저 깎고 20%를 할인하면 결과가 같을까?

원래 값 \(x\) (천 원) =

그림 1. \(x\)를 먼저 \(f\)에 넣고 그 결과를 \(g\)에 넣으면 \(g(f(x))\)가 나오고, 순서를 바꾼 \(f(g(x))\)와는 대체로 다르다.

먼저 알아야 할 것함수의 뜻, 정의역과 치역(함수), 다항식의 전개(공통수학1).

3.2.1함수를 차례로 적용하기

20% 할인을 \(f(x) = 0.8x\), 3,000원 할인을 \(g(x) = x - 3\)(단위 천 원)이라 하자. 원래 값이 50(천 원)이면 먼저 \(f\)를 거쳐 \(f(50) = 40\)이 되고, 이 40을 \(g\)에 넣어 \(g(40) = 37\)이 된다. 즉 최종 값은 \(g(f(50)) = 37\)이다.

모든 \(x\)에 대해 같은 과정을 거치면 \(x\)에서 \(g(f(x)) = 0.8x - 3\)으로 가는 새 함수가 생긴다. 이렇게 두 함수를 이어 붙여 만든 함수를 \(f\)와 \(g\)의 합성함수라 하고 \(g \circ f\)로 쓴다. 기호에서 \(f\)가 오른쪽에 있는 것은 \(x\)에 가까운 쪽부터 먼저 적용하기 때문이다.

정의 3.2.1 합성함수

두 함수 \(f: X \to Y\), \(g: Y \to Z\)에 대하여 \(X\)의 각 원소 \(x\)에 \(Z\)의 원소 \(g(f(x))\)를 대응시키는 함수를 \(f\)와 \(g\)의 합성함수라 하고 \(g \circ f\)로 나타낸다. \[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]

정의에서 \(f\)의 공역과 \(g\)의 정의역이 \(Y\)로 이어져 있는 것에 주의하자. \(f\)가 내놓은 값을 \(g\)가 받을 수 있어야 합성이 가능하다. 그림 1의 두 상자가 이어지는 자리가 바로 \(Y\)이다.

3.2.2순서를 바꾸면

3,000원을 먼저 깎고 할인하면 \(f(g(x)) = 0.8(x - 3) = 0.8x - 2.4\)이다. 따라서 \(g \circ f\)와 \(f \circ g\)는 다른 함수이고, 손님에게는 먼저 깎는 쪽이 600원 손해이다. 함수의 합성에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.

그런데 결합법칙은 성립한다. 세 함수를 차례로 적용할 때 \((h \circ g) \circ f\)와 \(h \circ (g \circ f)\)는 모두 '\(f\), \(g\), \(h\) 순서로 적용한다'는 같은 일이기 때문이다. 그래서 괄호 없이 \(h \circ g \circ f\)로 써도 된다.

그림 2. \(X\)에서 \(Y\)를 거쳐 \(Z\)로 가는 두 화살표를 한 번에 잇는 것이 합성함수 \(g \circ f\)이다.

3.2.3예제 풀이

예제 3.2.2

\(f(x) = 2x + 1\), \(g(x) = x^2 - 1\)일 때 \((g \circ f)(x)\)와 \((f \circ g)(x)\)를 구하고, \((g \circ f)(1)\)을 두 가지 방법으로 계산하여라. 또 \(f \circ h = g\)를 만족하는 함수 \(h(x)\)를 구하여라.

\((g \circ f)(x) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 - 1 = 4x^2 + 4x\)이다. \((f \circ g)(x) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 1 = 2x^2 - 1\)이다. 두 식이 다르므로 이번에도 \(g \circ f \ne f \circ g\)이다.

\((g \circ f)(1)\)은 식에 넣으면 \(4 + 4 = 8\)이다. 차례로 계산하면 \(f(1) = 3\), \(g(3) = 9 - 1 = 8\)로 같다.

마지막 질문은 \(f(h(x)) = g(x)\), 곧 \(2h(x) + 1 = x^2 - 1\)이다. 따라서 \(h(x) = \dfrac{x^2 - 2}{2}\)이다. 확인하면 \(f(h(x)) = x^2 - 2 + 1 = x^2 - 1\)로 \(g(x)\)와 같다.¹ 아래 탐구 카드에서 두 함수 상자의 순서를 바꾸어 가며 결과를 직접 비교해 보자.

\(f(x) = x\)처럼 모든 \(x\)를 자기 자신에 대응시키는 함수를 항등함수 \(I\)라 한다. 어떤 함수 \(f\)에 대해서도 \(f \circ I = I \circ f = f\)이다.

마무리

합성함수 \(g \circ f\)는 \(x\)에 먼저 \(f\)를, 그 결과에 \(g\)를 적용하는 함수이고, 적용하는 순서가 바뀌면 일반적으로 다른 함수가 된다. 처음 질문에서 20% 할인 뒤 3,000원을 깎으면 \(0.8x - 3\), 순서를 바꾸면 \(0.8x - 2.4\)이므로 두 결과는 같지 않다.

탐구 1

두 함수를 이어 붙이면 무엇이 될까?

합성함수 · 순서

순서

\(f\) 바꾸기

\(g\) 바꾸기

—

값: —
합성함수의 치역: —
\(g\circ f\)와 \(f\circ g\): —

왼쪽 \(X\)의 원소를 누르면 그 원소가 지나가는 길이 노란 화살표로 보인다. 값 단추를 누를 때마다 그 값이 \(1 \to 2 \to 3 \to 1\) 순서로 바뀐다.

질문원화를 달러로 바꾸는 함수와 달러를 엔으로 바꾸는 함수가 있다. 두 번 바꾸는 과정을 하나의 함수로 볼 수 있을까? 바꾸는 순서를 뒤집어도 같은 결과일까?
복원함수 \(f : X \to Y\)는 \(X\)의 각 원소에 \(Y\)의 원소를 하나씩 대응시킨다. 그리고 함숫값 \(f(x)\)는 다시 다른 함수에 넣을 수 있는 하나의 원소이다.
설명그래서 두 함수 \(f : X \to Y, g : Y \to Z\)가 있으면 \(X\)의 원소 \(x\)를 먼저 \(f\)로 보내고, 그 결과 \(f(x)\)를 다시 \(g\)로 보내 \(Z\)의 원소 \(g(f(x))\)를 얻는다. 이렇게 만든 \(X\)에서 \(Z\)로의 함수를 \(f\)와 \(g\)의 합성함수라 하고 \(g\circ f\)로 나타내며, \((g\circ f)(x) = g(f(x))\)이다. 기호에서는 \(g\)가 앞에 쓰여 있지만 먼저 작용하는 것은 오른쪽의 \(f\)이다. 또 합성이 되려면 \(f\)의 치역이 \(g\)의 정의역에 들어 있어야 한다.
연결합성함수는 결합법칙 \(h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f\)를 만족한다. 어느 쪽이든 \(f, g, h\) 순서로 작용하기 때문이다. 또 항등함수 \(I\)와는 \(f\circ I = I\circ f = f\)이다. 다음 절의 역함수는 \(f\)와 합성해서 항등함수가 되는 함수이다.
적용처음 상태에서 \(X\)의 2를 눌러 \((g\circ f)(2)\)를 읽은 뒤, 순서를 바꿔 \((f\circ g)(2)\)와 비교해 보자. \(g\)를 항등함수로 바꾸면 \(g\circ f\)와 \(f\circ g\)가 같아진다. \(f\)의 값을 바꾸어 두 합성함수가 같아지는 다른 경우도 찾아보자.
판단일반적으로 \(g\circ f \ne f\circ g\)이다. 곧 합성에는 교환법칙이 성립하지 않고, 같아지는 경우가 있더라도 특별한 경우일 뿐이다. 또 \((g\circ f)(x)\)를 \(g(x) \times f(x)\)로 읽는 실수가 흔한데, \(\circ\)는 곱셈이 아니라 "넣은 결과를 다시 넣는다"는 뜻이다.

확인조건이 달라지면

두 함수 \(f(x) = x + 2, g(x) = 3x - 1\)에 대하여 \((f\circ g)(x)\)는?

탐구 2

합성함수의 식과 값은 어떻게 구할까?

합성함수 구하기 · 그래프로 따라가기

합성 순서

\(f(x) = ax + b\)의 \(a =\) 1

\(b =\) −1

\(g(x) = x^2 + c\)의 \(c =\) −2

—

먼저: —
다음: —
반대 순서: —

━ \(y = f(x)\)━ \(y = g(x)\)━ 합성함수┅ \(y = x\)

\(x\)축 위의 점 \(x_0\)을 끌 수 있다. 점선 화살표는 첫 함수의 그래프로 올라간 뒤, 직선 \(y = x\)에서 그 값을 다시 \(x\)좌표로 옮겨 두 번째 함수로 가는 길이다.

질문\(f(x) = x - 1, g(x) = x^2 - 2\)일 때 \((g\circ f)(x)\)를 하나의 식으로 쓸 수 있을까? 그래프만 보고 \((g\circ f)(2)\)를 찾을 수도 있을까?
복원\((g\circ f)(x) = g(f(x))\)이고, 먼저 작용하는 것은 \(f\)이다. 또 함수 \(y = f(x)\)의 그래프에서 \(x = a\)일 때의 높이가 \(f(a)\)이다.
설명식으로 구할 때는 \(g(x)\)의 \(x\) 자리에 \(f(x)\)를 통째로 넣는다. 그러면 \(g(f(x)) = (x - 1)^2 - 2 = x^2 - 2x - 1\)이고, 반대로 \((f\circ g)(x) = f(x^2 - 2) = x^2 - 3\)이다. 일반적으로 \(f(x) = ax + b, g(x) = x^2 + c\)이면 \((g\circ f)(x) = a^2x^2 + 2abx + b^2 + c, (f\circ g)(x) = ax^2 + ac + b\)이다. 그래프로 구할 때는 \(x_0\)에서 \(f\)의 그래프로 올라가 높이 \(f(x_0)\)를 얻고, 직선 \(y = x\)를 거쳐 그 높이를 \(x\)좌표로 옮긴 다음 \(g\)의 그래프로 가면 그 높이가 \(g(f(x_0))\)이다.
연결값 하나만 필요하면 식 전체를 구하지 않고 안쪽부터 차례로 계산하는 편이 빠르다. 함수를 여러 번 거듭하는 계산\((f\circ f\circ f\cdots)\)이나 수열의 점화식도 같은 원리이고, 미적분에서는 합성함수의 미분으로 이어진다.
적용처음 상태에서 \(x_0 = 2\)로 놓고 '먼저'와 '다음'의 값을 읽으면, 식 \(x^2 - 2x - 1\)에 2를 넣은 값 \(-1\)과 같다. 순서를 \(f\circ g\)로 바꾸면 경로와 값이 함께 달라진다. \(a = 1, b = 0\)으로 놓아 \(f\)를 항등함수로 만들면 두 합성함수가 모두 \(g\)와 같아진다.
판단합성함수의 식을 구할 때 \(g(x) = x^2 + c\)의 \(x\)에 \(f(x)\)를 넣으면서 괄호를 빠뜨리면 \(x - 1^2 - 2\)처럼 전혀 다른 식이 된다. 그래서 넣는 식은 반드시 괄호로 감싼다. 또 합성하려면 안쪽 함수의 값이 바깥 함수의 정의역에 들어가야 하므로, 바깥 함수가 \(\sqrt{x}\)처럼 정의역이 제한되면 이 조건을 따로 확인한다.

확인조건이 달라지면

\(f(x) = 2x - 1, g(x) = x^2 + 1\)일 때 \((g\circ f)(2)\)의 값은?

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