함수

중학교에서는 \(x\)의 값이 정해지면 \(y\)의 값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 했습니다. 이 절에서는 이 생각을 두 집합 사이의 대응으로 넓힙니다. 화살표로 원소를 짝지어 보며 함수가 되는 조건을 찾고, 함수의 여러 종류를 구별한 뒤, 그래프만 보고 함수인지 판단하는 방법을 익힙니다.

먼저 알면 좋은 것 집합과 원소 순서쌍과 좌표 일차함수와 이차함수의 그래프

본문

함수

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자판기에서 버튼 하나를 누르면 음료 하나가 나온다. 그런데 어떤 버튼을 누를 때마다 다른 음료가 나온다면 그 자판기는 믿을 수 없다. 수학의 함수는 이 '믿을 수 있는 자판기'와 같은데, 정확히 어떤 조건을 갖추어야 할까?

대응 고르기

그림 1. \(X\)의 원소마다 화살표가 정확히 하나씩 나갈 때만 함수이다. 화살표가 없거나 둘인 원소가 있으면 함수가 아니다.

먼저 알아야 할 것집합과 원소(집합의 뜻과 표현), 순서쌍과 좌표, 중학교의 일차함수와 이차함수의 그래프.

3.1.1대응과 함수

두 집합 \(X\), \(Y\)에서 \(X\)의 원소에 \(Y\)의 원소를 짝지어 주는 것을 \(X\)에서 \(Y\)로의 대응이라 한다. 그림 1에서 화살표 하나가 짝 하나이다. 대응 가운데 \(X\)의 각 원소에 \(Y\)의 원소가 오직 하나씩 대응하는 것을 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수라 하고 \(f: X \to Y\)로 쓴다.

조건은 두 가지이다. \(X\)의 원소는 하나도 빠짐없이 화살표를 가져야 하고, 각 원소에서 나가는 화살표는 하나뿐이어야 한다. 그림 1의 슬라이더로 대응을 바꾸어 보면, 화살표가 없는 원소가 있거나 한 원소에서 화살표가 둘 나가면 함수가 아니다. 그런데 \(Y\)의 원소 하나에 화살표가 여러 개 들어오는 것은 괜찮다. 다른 버튼에서 같은 음료가 나와도 자판기는 믿을 수 있기 때문이다.

정의 3.1.1 정의역, 공역, 치역

함수 \(f: X \to Y\)에서 \(X\)를 정의역, \(Y\)를 공역이라 한다. \(x\)에 대응하는 \(Y\)의 원소를 \(f(x)\)로 쓰고 함숫값이라 하며, 함숫값 전체의 집합 \(\{f(x) \mid x \in X\}\)를 치역이라 한다.

치역은 공역의 부분집합이다. 공역은 '나올 수 있는 후보'이고 치역은 '실제로 나온 것'이다. 자판기로 말하면 공역은 진열된 음료 목록, 치역은 버튼으로 실제 받을 수 있는 음료이다.¹

3.1.2그래프로 보는 함수

함수 \(f\)의 그래프는 순서쌍 \((x, f(x))\) 전체의 집합이다. 정의역과 공역이 실수의 집합이면 이 순서쌍을 좌표평면에 점으로 찍을 수 있다. 그러면 함수의 조건 '\(x\) 하나에 \(y\) 하나'는 그래프에서 '세로선 하나에 점 하나'가 된다.

그림 2. 정의역의 어느 값에서 세로선을 그어도 그래프와 정확히 한 점에서 만나야 함수의 그래프이다.

그림 2의 원 \(x^2 + y^2 = 1\)은 \(x = 0.5\)에서 \(y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 두 값을 가지므로 \(x\)의 함수가 아니다. 하지만 위쪽 반원 \(y = \sqrt{1 - x^2}\)만 떼어 내면 함수가 된다.

3.1.3일대일함수와 일대일대응

함수 가운데 서로 다른 \(x\)에 서로 다른 함숫값이 대응하는 것을 일대일함수라 한다. 여기에 치역과 공역이 같다는 조건까지 갖추면 일대일대응이라 한다. 일대일대응에서는 \(Y\)의 원소마다 화살표가 정확히 하나씩 들어온다. 이 성질은 뒤의 역함수에서 쓰인다.

3.1.4예제 풀이

예제 3.1.2

\(X = \{-1, 0, 1, 2\}\)에서 \(Y = \{0, 1, 2, 3, 4\}\)로의 함수 \(f(x) = x^2\)의 치역을 구하고, \(f\)가 일대일함수인지 판별하여라. 또 두 함수 \(f(x) = x^2\)과 \(g(x) = |x|\)가 정의역 \(\{-1, 0, 1\}\)에서 서로 같은지 판별하여라.

함숫값은 \(f(-1) = 1\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 4\)이므로 치역은 \(\{0, 1, 4\}\)이다. 공역에 있는 2와 3은 치역에 들지 않는다. 또 \(-1 \ne 1\)인데 \(f(-1) = f(1)\)이므로 일대일함수가 아니다.

두 함수가 서로 같다는 것은 정의역과 공역이 같고, 정의역의 모든 원소에서 함숫값이 같다는 뜻이다. \(\{-1, 0, 1\}\)에서 \(x^2\)과 \(|x|\)는 각각 \(1, 0, 1\)로 모든 값이 같으므로 두 함수는 서로 같다. 식의 모양이 달라도 대응이 같으면 같은 함수이다.

정의역을 \(\{-1, 0, 1, 2\}\)로 넓히면 \(f(2) = 4\), \(g(2) = 2\)로 달라져서 더 이상 같은 함수가 아니다. 즉 함수는 식만이 아니라 정의역까지 함께 정해야 정해진다. 아래 탐구 카드에서 화살표와 그래프를 직접 조작하며 함수의 조건을 확인해 보자.

정의역과 공역을 따로 말하지 않고 \(y = f(x)\)로만 쓰면, 정의역은 \(f(x)\)가 정의되는 실수 전체, 공역은 실수 전체로 본다.

마무리

함수는 정의역의 원소마다 공역의 원소가 정확히 하나씩 대응하는 규칙이다. 그래프로는 세로선이 그래프와 한 점에서만 만나는 것이고, 공역의 한 원소에 여러 원소가 대응하는 것은 허용된다. 그래서 처음 질문의 자판기가 믿을 수 있으려면 버튼마다 음료가 정확히 하나씩 나와야 하고, 서로 다른 버튼이 같은 음료를 내는 것은 괜찮다.

탐구 1

어떤 대응을 함수라고 부를까?

함수의 뜻 · 정의역 · 치역 · 일대일대응

\(Y\)의 원소 수

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함수인가: —
치역: —
종류: —

\(X\)의 원소를 누른 뒤 \(Y\)의 원소를 누르면 화살표가 생기고, 같은 짝을 다시 누르면 지워진다. 빨간 테두리는 함수의 조건을 어긴 원소, 초록 테두리는 치역의 원소이다.

질문학생 세 명이 각자 좋아하는 과일을 고른다고 하자. 한 명이 과일 두 개를 고르거나, 한 명이 아무것도 고르지 않으면 어떤 문제가 생길까? 대응이 함수가 되려면 무엇이 필요할까?
복원중학교에서는 \(x\)의 값이 하나 정해지면 \(y\)의 값이 하나로 정해질 때 \(y\)를 \(x\)의 함수라고 했다. 여기서는 수 대신 두 집합의 원소 사이의 짝짓기, 곧 대응으로 이 생각을 넓힌다.
설명두 집합 \(X, Y\)에서 \(X\)의 각 원소에 \(Y\)의 원소가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 \(X\)에서 \(Y\)로의 함수라 하고 \(f : X \to Y\)로 나타낸다. \(X\)를 정의역, \(Y\)를 공역이라 하고, \(X\)의 원소 \(x\)에 대응하는 값 \(f(x)\)를 모은 집합 \(\{f(x) \mid x \in X\}\)를 치역이라 하므로, 치역은 공역의 부분집합이다. 정의역의 서로 다른 원소에 서로 다른 값이 대응하면\((x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2))\) 일대일함수이고, 일대일함수이면서 치역과 공역이 같으면 일대일대응이다. 또 모든 \(x\)에 \(x\) 자신이 대응하는 \(X \to X\) 함수를 항등함수, 모든 원소에 같은 값 하나가 대응하면 상수함수라 한다. 두 함수 \(f, g\)는 정의역과 공역이 각각 같고 정의역의 모든 \(x\)에서 \(f(x) = g(x)\)일 때 서로 같다고 한다.
연결학생마다 출석 번호를, 물건마다 바코드를 붙이는 일은 모두 함수이다. 특히 번호가 겹치지 않아야 하는 경우는 일대일함수이다. 또 일대일대응은 거꾸로 되짚어 갈 수 있어서, 뒤에서 역함수의 조건이 된다.
적용'빠진 원소'와 '화살표 두 개'를 눌러 어느 원소가 조건을 어기는지 확인해 보자. \(Y\)의 원소가 4개일 때 일대일대응을 만들 수 있는지, \(Y\)를 3개로 줄이면 어떤지도 비교해 보자. 화살표를 직접 이어 치역이 {2}뿐인 함수를 만들면 상수함수가 된다.
판단\(Y\)에 화살표를 받지 않는 원소가 있어도 함수이다. 조건은 \(X\) 쪽에만 있어서, \(X\)의 원소마다 화살표가 정확히 하나씩 나가기만 하면 \(Y\)의 원소는 화살표를 여러 개 받거나 하나도 받지 않아도 된다. 또 치역과 공역은 다르다. 공역은 미리 정한 집합이고, 치역은 실제로 화살표를 받은 원소만 모은 집합이다.

확인조건이 달라지면

\(X = \{-1, 0, 1\}, Y = \{0, 1, 2\}\)일 때 함수 \(f : X \to Y, f(x) = x^2\)에 대한 설명으로 옳은 것은?

탐구 2

그래프만 보고 함수인지 알 수 있을까?

함수의 그래프 · 세로선과 가로선

—

세로선과 만난 점: —
가로선과 만난 점: —
곡선 전체 판정: —

아래쪽 손잡이로 세로선을, 왼쪽 손잡이로 가로선을 끌 수 있다. 곡선 전체 판정은 실수 전체(원과 누운 포물선은 곡선이 있는 범위)에서 모든 세로선과 가로선을 따져 본 결과이다.

질문좌표평면에 곡선이 하나 그려져 있다. 식을 몰라도, 이 곡선이 어떤 함수 \(y = f(x)\)의 그래프인지 알아낼 수 있을까?
복원함수 \(f : X \to Y\)는 \(X\)의 각 원소 \(x\)에 \(Y\)의 원소 \(f(x)\)가 오직 하나 대응하는 것이다. 또 일대일함수는 서로 다른 \(x\)에 서로 다른 값이 대응하는 함수이다.
설명함수 \(f\)의 그래프는 순서쌍 \((x, f(x))\)를 모두 모은 집합 \(\{(x, f(x)) \mid x \in X\}\)이고, 정의역이 수의 집합이면 이 순서쌍을 좌표평면의 점으로 찍어 그린다. 그런데 정의역의 원소 \(a\)마다 점이 하나뿐이므로, 세로선 \(x = a\)는 함수의 그래프와 정확히 한 점에서 만난다. 그래서 두 점 이상에서 만나는 세로선이 하나라도 있으면 그 곡선은 \(x\)의 함수의 그래프가 아니다. 같은 생각을 가로선 \(y = b\)에 쓰면 일대일함수를 알아볼 수 있다. 치역의 어떤 값 \(b\)에서 가로선이 그래프와 두 점 이상에서 만나면, 서로 다른 두 \(x\)의 값이 같은 값 \(b\)에 대응하므로 일대일함수가 아니다.
연결정의역이 {1, 2, 3}처럼 유한집합이면 그래프는 점 몇 개뿐이고, 정의역이 실수 전체이면 점이 이어져 곡선이 된다. 가로선 판정은 다음에 배울 역함수가 존재하는지 알아보는 데 다시 쓰인다.
적용포물선에서 가로선을 \(y = 0, y = -2, y = -3\)에 놓고 만나는 점의 수를 세어 보자. 원에서는 두 점에서 만나는 세로선과 한 점에서만 만나는 양 끝의 세로선을 찾을 수 있다. 직선과 삼차곡선에서는 두 점 이상에서 만나는 가로선이 있는지도 확인해 보자.
판단원 \(x^2 + y^2 = 9\)는 함수의 그래프가 아니지만, 위쪽 반원 \(y = \sqrt{9 - x^2}\)만 떼어 내면 함수의 그래프가 된다. 즉 곡선 자체보다 정의역과 대응 규칙을 무엇으로 정했는지가 함수를 결정한다. 또 세로선 판정은 정의역 안의 \(x\)에서만 하므로, 정의역 밖에서 세로선이 그래프와 만나지 않는 것은 문제가 되지 않는다.

확인조건이 달라지면

정의역과 공역이 모두 실수 전체의 집합일 때, 일대일대응인 것은?

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