공간좌표

교실 바닥 한구석에서 반대편 천장 구석까지 줄을 팽팽하게 당기면 길이가 얼마일까? 가로 8 m, 세로 6 m, 높이 3 m인 교실이라면 피타고라스 정리를 쓰면 될 것 같다. 그런데 직각삼각형이 공중에 비스듬히 놓여 있다. 공간의 점을 수로 나타내면 이런 계산을 체계적으로 할 수 있지 않을까?

\(a\)

\(b\)

\(c\)

2.4.1공간좌표

공간의 한 점 O에서 서로 수직인 세 수직선을 \(x\)축, \(y\)축, \(z\)축이라 하고, 두 축이 정하는 세 평면을 \(xy\)평면, \(yz\)평면, \(zx\)평면이라 한다. 공간의 점 P에서 세 좌표평면에 수직인 평면을 그어 각 축과 만나는 점의 좌표를 \(a\), \(b\), \(c\)라 하면, 점 P를 세 실수의 순서쌍 \((a, b, c)\)로 나타낼 수 있다. 이를 점 P의 공간좌표라 한다.

점 \((a, b, c)\)를 \(xy\)평면에 정사영하면 \((a, b, 0)\)이 되고, \(xy\)평면에 대해 대칭이동하면 \((a, b, -c)\)가 된다. 좌표평면에서처럼 대칭이동한 축이나 평면에 해당하는 좌표만 부호가 바뀌지 않는다.

2.4.2두 점 사이의 거리와 내분점

원점 O와 점 \(P(a, b, c)\) 사이의 거리를 구하자. P의 \(xy\)평면 위로의 정사영 \(P'(a, b, 0)\)에 대하여 \(\overline{OP'} = \sqrt{a^2 + b^2}\)이다. 삼각형 \(OP'P\)는 \(P'\)에서 직각인 직각삼각형이므로 \(\overline{OP}^2 = a^2 + b^2 + c^2\)이다. 피타고라스 정리를 두 번 쓴 셈이다.

내분점은 선분을 세 좌표축에 각각 정사영하여 생각하면, 축마다 좌표평면에서와 같은 비로 나뉜다. 그래서 좌표마다 따로 계산하면 된다. 그림 1에서 \(a\), \(b\), \(c\)를 바꾸어 보며 거리가 어떻게 변하는지 확인해 보자.¹

2.4.3예제 풀이

바닥 구석을 원점으로 잡으면 반대편 천장 구석은 \((8, 6, 3)\)이다. 거리는 \(\sqrt{64 + 36 + 9} = \sqrt{109} \approx 10.4\) m이다. 바닥 대각선이 \(\sqrt{64 + 36} = 10\) m이고, 그것과 높이 3 m로 다시 직각삼각형을 만든 것과 같다.

내분점은 \(\left(\dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 1}{3}, \dfrac{1 \cdot 4 + 2 \cdot (-2)}{3}, \dfrac{1 \cdot (-3) + 2 \cdot 3}{3}\right) = (2, 0, 1)\)이다. 확인하면 \(\overline{AP} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\), \(\overline{PB} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6\)으로 비가 \(1 : 2\)이다.

아래 탐구 카드에서 공간의 점을 좌표로 나타내고, 두 점 사이의 거리와 내분점을 직접 구해 보자.

1. 삼각형의 무게중심도 좌표평면에서와 같이 세 꼭짓점 좌표의 평균, 곧 \(\left(\dfrac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \dfrac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \dfrac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\right)\)이다.