등위곡선과 곡면

등산 지도에는 높이가 같은 곳을 이은 등고선이 100 m 간격으로 그려져 있다. 등고선이 동심원이면 둥근 봉우리이고, 등고선이 촘촘한 곳은 가파르다고 배웠다. 높이를 함수 \(z = f(x, y)\)로 나타낸 곡면도 같은 방법으로 평면에 그릴 수 있을까? \(z = x^2 + y^2\)와 \(z = x^2 - y^2\)의 등고선은 어떻게 다르고, 그 모양에서 곡면이 그릇인지 말안장인지 알아볼 수 있을까?

3.1.1높이가 같은 점을 잇다

두 변수 함수 \(z = f(x, y)\)의 그래프는 공간의 곡면이다. 곡면을 높이 \(z = k\)인 수평 평면으로 자르면 단면이 생기고, 그 단면을 \(xy\) 평면에 내려 그린 곡선 \(f(x, y) = k\)를 등위곡선이라 한다. 여러 높이의 등위곡선을 한 평면에 겹쳐 그리면 등고선 지도가 된다. 3차원 곡면을 평면에서 읽을 수 있게 해 주므로, 지형도, 일기도의 등압선, 온도 분포도에 널리 쓴다.

\(z = x^2 + y^2\)의 높이 \(k\)인 등위곡선은 반지름 \(\sqrt k\)인 원이다. 높이 1, 2, 3, 4의 원은 반지름이 1, 1.41, 1.73, 2로, 바깥으로 갈수록 반지름의 차가 줄어 촘촘해진다. 그래서 이 곡면은 가운데가 평평하고 가장자리로 갈수록 가파른 그릇 모양이다. 원뿔 \(z = \sqrt{x^2 + y^2}\)이었다면 반지름이 1, 2, 3, 4로 고른 간격이어서 기울기가 어디서나 같다. 이렇게 등위곡선의 간격으로 곡면의 기울기 변화를 읽는다.¹

3.1.2말안장의 등위곡선

\(z = x^2 - y^2\)의 등위곡선 \(x^2 - y^2 = k\)는 \(k > 0\)이면 \(x\)축 쪽으로 열린 쌍곡선, \(k < 0\)이면 \(y\)축 쪽으로 열린 쌍곡선, \(k = 0\)이면 두 직선 \(y = \pm x\)이다. 원점에서 \(x\)축을 따라가면 높이가 오르고 \(y\)축을 따라가면 높이가 내려간다. 그래서 원점은 한 방향으로는 가장 낮고 다른 방향으로는 가장 높은 말안장 모양의 점이며, 이를 안장점이라 한다. 등고선 지도에서 두 봉우리 사이의 고개가 이런 모양이다.

3.1.3예제 풀이

\(x^2 + 4y^2 = 4\)는 \(\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1\)로, \(x\)축 방향 반지름 2, \(y\)축 방향 반지름 1인 타원이다. 높이 1, 4, 9의 등위곡선은 모두 같은 비율의 타원이고, \(y\)축 방향으로 반지름이 절반이어서 등위곡선이 그 방향으로 두 배 촘촘하다. 그래서 곡면은 \(y\) 방향으로 더 가파른 길쭉한 그릇 모양이다.

\(f(2, 0) = 4\), \(f(0, 1) = 4\)이므로 두 점은 같은 높이 4의 등고선 위에 있다. 원점에서 두 점까지의 거리는 2와 1로 다르지만 높이는 같은데, 원점에서 \(y\) 방향으로 1만 가도 \(x\) 방향으로 2를 간 만큼 오르기 때문이다. 즉 곡면 \(z = f(x, y)\)는 높이가 같은 점을 이은 등위곡선을 겹쳐 평면에 나타낼 수 있고, 등위곡선의 모양으로 곡면의 생김새를, 간격으로 가파른 정도를 읽는다.

아래 탐구 카드에서 지도의 등고선이 곡면을 어떻게 나타내는지 확인하고, 등고선 지도만 보고 함수를 알아맞혀 보자.

1. 등고선 지도는 18세기 프랑스에서 군사 지도를 만들며 널리 쓰이기 시작했다. 오늘날 일기도의 등압선이 촘촘한 곳에서 바람이 강한 것도, 기압 곡면이 그곳에서 가파르기 때문이다.