원의 방정식

무선 공유기의 신호가 반지름 5 m까지 닿는다고 하자. 공유기가 \((2, 1)\)에 있으면 신호가 닿는 경계의 점 \((x, y)\)는 어떤 식을 만족할까? 그리고 \(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0\)처럼 펼쳐진 식에서는 중심과 반지름을 어떻게 다시 읽을까?

\(a\) =

\(b\) =

\(r\) =

1.4.1같은 거리에 있는 점들

중학교에서 원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이라고 배웠다. 그 한 점이 중심이고, 같은 거리가 반지름이다. 좌표평면에서는 '거리'를 두 점 사이의 거리 공식으로 계산할 수 있으므로, 이 정의를 그대로 식으로 옮길 수 있다.

중심을 \(C(2, 1)\), 반지름을 5라 하자. 점 \(P(x, y)\)가 원 위에 있다는 것은 \(CP = 5\)라는 뜻이다. 거리 공식으로 쓰면 \(\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 1)^2} = 5\)이고, 양변이 0 이상이므로 제곱해도 같은 조건이다. 따라서 \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25\)이다.

그림 1에서 \(a\), \(b\), \(r\)을 바꾸어 보자. 원 위의 점 \(P\)에서 중심까지 그린 가로 선분과 세로 선분은 위치마다 길이가 다르지만, 두 길이를 각각 제곱해 더하면 언제나 \(r^2\)이다. 원 위의 점은 이 식을 만족하고, 원 밖이나 안의 점은 만족하지 않는다.¹

1.4.2펼쳐진 식에서 중심과 반지름 찾기

처음 질문의 \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25\)를 전개해서 정리하면 \(x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0\)이 된다. 이런 꼴에서는 중심과 반지름이 보이지 않으므로, 거꾸로 완전제곱식을 만들어야 한다.

\(x\)항끼리 모아 \(x^2 - 4x\)를 보면, 일차항 계수 \(-4\)의 절반 \(-2\)를 제곱한 4를 더하고 빼서 \((x - 2)^2 - 4\)로 쓸 수 있다. 같은 방법으로 \(y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1\)이다. 그러면 식은 \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 - 4 - 1 - 20 = 0\), 즉 \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25\)로 돌아온다.

정리의 조건이 필요한 까닭은 우변이 반지름의 제곱이기 때문이다. 우변이 0이면 좌변의 두 제곱이 모두 0이어야 하므로 점 하나만 남고, 음수이면 만족하는 점이 아예 없다. 같은 꼴의 식이 원이 되기도 하고 되지 않기도 하는 것이다.

1.4.3예제 풀이

중심을 모르므로 일반형 \(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\)으로 두고 세 점을 넣는다. \(O\)를 넣으면 \(C = 0\)이다. \(A(6, 0)\)을 넣으면 \(36 + 6A = 0\)이므로 \(A = -6\)이다. \(B(0, 8)\)을 넣으면 \(64 + 8B = 0\)이므로 \(B = -8\)이다.

따라서 원은 \(x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0\)이다. 완전제곱식으로 고치면 \((x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25\)이므로 중심은 \((3, 4)\), 반지름은 5이다.

확인해 보자. 중심 \((3, 4)\)에서 세 점까지의 거리는 \(\sqrt{9 + 16}\), \(\sqrt{9 + 16}\), \(\sqrt{9 + 16}\)으로 모두 5이다. 중심이 빗변 \(AB\)의 중점 \((3, 4)\)와 같다는 것도 눈여겨볼 만하다. 직각삼각형 \(OAB\)의 외접원은 빗변을 지름으로 하기 때문이다. 아래 탐구 카드에서 점을 끌어 식의 값이 \(r^2\)과 같아지는 곳이 정말 원 위인지 직접 확인해 보자.

1. 좌변의 값은 \(CP^2\)이므로, 좌변이 \(r^2\)보다 작으면 \(P\)는 원의 내부, 크면 외부에 있다.