원과 직선의 위치 관계
본문원 \(x^2 + y^2 = 5\)와 직선 \(y = 2x + k\)가 있다. \(k\)를 바꾸면 직선이 평행하게 움직이며 원을 가르다가, 한 점에서 스치고, 결국 원에서 떨어진다. 스치는 순간의 \(k\)를 계산하는 방법은 몇 가지일까?
1.5.1교점을 구하는 식으로 보기
원과 직선이 만나는 점은 두 식을 함께 만족한다. 그래서 직선의 식 \(y = 2x + k\)를 원의 식에 넣으면 \(x^2 + (2x + k)^2 = 5\), 곧 \(5x^2 + 4kx + k^2 - 5 = 0\)이다. 이 이차방정식의 실근이 교점의 \(x\)좌표이므로, 실근의 개수가 교점의 개수이다.
판별식을 계산하면 \(\dfrac{D}{4} = 4k^2 - 5(k^2 - 5) = 25 - k^2\)이다. 따라서 \(-5 < k < 5\)이면 두 점, \(k = \pm 5\)이면 한 점, \(|k| > 5\)이면 만나지 않는다. 공통수학1에서 포물선과 직선에 쓴 방법을 그대로 원에 쓴 것이다.
1.5.2거리로 보기
원에는 포물선에 없는 성질이 하나 있다. 원 위의 점은 모두 중심에서 거리가 \(r\)이고, 원의 안쪽 점은 \(r\)보다 가깝다. 그러면 직선이 원과 만나는지는 '직선이 중심에 얼마나 가까이 오는가'로 정해진다. 직선 위에서 중심에 가장 가까운 점은 수선의 발이고, 그 거리가 점과 직선 사이의 거리 \(d\)이다.
\(d < r\)이면 직선 위에 원 안쪽의 점이 있으므로 직선은 원을 가로질러 두 점에서 만난다. \(d = r\)이면 수선의 발 하나만 원 위에 있으므로 한 점에서 만나고, \(d > r\)이면 직선 위의 모든 점이 원 밖에 있다. 그림 1의 슬라이더로 \(k\)를 바꾸며 \(d\)와 \(r\)을 비교해 보자.
반지름이 \(r\)인 원의 중심과 직선 사이의 거리를 \(d\)라 하면, \(d < r\)일 때 서로 다른 두 점에서 만나고, \(d = r\)일 때 한 점에서 만나며(접하며), \(d > r\)일 때 만나지 않는다. 이는 대입한 이차방정식의 판별식이 \(D > 0\), \(D = 0\), \(D < 0\)인 경우와 같다.
처음 질문에 쓰면 직선은 \(2x - y + k = 0\)이므로 \(d = \dfrac{|k|}{\sqrt{5}}\), 반지름은 \(\sqrt{5}\)이다. 접할 조건 \(d = r\)은 \(|k| = 5\)로, 1의 판별식과 같은 답이 나온다. 계산은 거리 쪽이 훨씬 짧다.
1.5.3원 위의 점에서 그은 접선
원이 직선에 접할 때 접점과 중심을 잇는 반지름은 접선에 수직이다. 접점이 수선의 발이기 때문이다. 이 성질로 원 위의 점에서의 접선을 바로 쓸 수 있다. 원 \(x^2 + y^2 = r^2\) 위의 점 \((x_1, y_1)\)에서 반지름의 기울기는 \(\dfrac{y_1}{x_1}\)이므로 접선의 기울기는 \(-\dfrac{x_1}{y_1}\)이고, 정리하면 접선은 \(x_1x + y_1y = r^2\)이다.1
1.5.4예제 풀이
원 \((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9\)와 직선 \(3x + 4y + k = 0\)이 만나서 생기는 현의 길이가 \(4\sqrt{2}\)일 때, 양수 \(k\)의 값을 구하여라.
중심 \(C(1, 2)\)에서 현에 내린 수선은 현을 이등분한다. 그래서 현의 절반 \(2\sqrt{2}\), 중심에서 직선까지의 거리 \(d\), 반지름 3은 직각삼각형을 이루고 \(d^2 + (2\sqrt{2})^2 = 3^2\)이다. 따라서 \(d^2 = 1\), \(d = 1\)이다.
한편 거리 공식으로 \(d = \dfrac{|3 + 8 + k|}{5} = \dfrac{|11 + k|}{5}\)이다. 이것이 1이므로 \(|11 + k| = 5\)이고, \(k = -6\) 또는 \(k = -16\)이다. 그런데 문제는 양수 \(k\)를 물었다. 두 값이 모두 음수이므로 조건을 만족하는 양수 \(k\)는 없다.
답이 '없음'으로 나왔으니 그림으로 다시 보자. \(k > 0\)이면 직선 \(3x + 4y = -k\)는 원점보다 아래쪽에 놓이고, 중심 \((1, 2)\)에서 거리가 \(\dfrac{11 + k}{5} > \dfrac{11}{5}\)이다. 거리가 1이 될 수 없으므로 정말 양수 \(k\)는 없다. 조건을 '\(k\)의 값'으로 바꾸면 답은 \(-6\)과 \(-16\)이다. 아래 탐구 카드에서 직선을 옮기며 \(d\)와 \(r\), 판별식이 함께 바뀌는 모습을 직접 확인해 보자.
- \(y - y_1 = -\tfrac{x_1}{y_1}(x - x_1)\)의 양변에 \(y_1\)을 곱해 정리하면 \(x_1x + y_1y = x_1^2 + y_1^2 = r^2\)이다. \(y_1 = 0\)이면 접선은 세로 직선 \(x = x_1\)이고, 이 식도 같은 꼴에 들어간다.
원과 직선의 위치 관계는 대입한 이차방정식의 판별식으로도, 중심에서 직선까지의 거리 \(d\)와 반지름 \(r\)의 비교로도 가릴 수 있고, 두 방법은 같은 답을 준다. 접할 때는 반지름이 접선에 수직이다. 처음 질문에서 직선이 원에 접하는 순간은 \(d = \tfrac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\), 곧 \(k = \pm 5\)이다.