이차방정식의 판별식
본문이차방정식 \(x^2 - 2x + c = 0\)은 \(c\)가 얼마일 때 서로 다른 두 실근을 갖고, 언제 근이 하나로 겹치며, 언제 실근이 사라질까? 근의 공식의 어느 부분이 이것을 결정할까?
2.2.1근의 공식에서 근호 안을 보기
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\ (a \ne 0)\)의 근은 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)이다. 이 식에서 \(a\), \(b\)는 그냥 계산하면 되는 수이지만, 근호 안의 \(b^2 - 4ac\)는 사정이 다르다. 근호 안이 양수이면 실수의 제곱근이 두 개 나오고, 0이면 \(\pm\)가 같은 값을 주며, 음수이면 실수 범위에서 계산할 수 없다.
복소수를 배운 지금은 근호 안이 음수여도 계산이 멈추지 않는다. 가령 \(\sqrt{-4} = 2i\)이므로 근은 허수가 된다. 따라서 이차방정식은 복소수 범위에서 언제나 근을 갖고, 근호 안의 부호는 그 근이 실수인지 허수인지를 가른다.
2.2.2판별식
계수가 실수인 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)에서 \(D = b^2 - 4ac\)를 판별식이라 한다.
\(D > 0\)이면 서로 다른 두 실근, \(D = 0\)이면 중근(서로 같은 두 실근), \(D < 0\)이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.
정의의 세 경우는 1에서 근호 안을 보며 한 이야기를 그대로 옮긴 것이다. 근의 공식을 끝까지 계산하지 않고 \(D\)의 부호만 보면 근의 종류를 알 수 있으므로, '판별'식이라는 이름이 붙었다. \(b\)가 짝수 \(2b'\)이면 \(D = 4(b'^2 - ac)\)이므로 \(\dfrac{D}{4} = b'^2 - ac\)의 부호만 보아도 된다.
그림 1의 \(x^2 - 2x + c = 0\)에서 \(\dfrac{D}{4} = 1 - c\)이다. 그러면 \(c < 1\)일 때 두 실근, \(c = 1\)일 때 중근, \(c > 1\)일 때 두 허근이다. 슬라이더로 \(c\)를 키우면 포물선이 위로 올라가다가 \(c = 1\)에서 \(x\)축에 닿고, 그 뒤로는 \(x\)축과 만나지 않는다.1
2.2.3완전제곱식으로 보는 이유
근의 공식은 완전제곱식에서 나왔으므로, 판별식이 무엇을 재는지도 그 과정에서 보인다. \(ax^2 + bx + c = 0\)의 양변을 \(a\)로 나누고 정리하면 \(\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)이다.
여기서 좌변은 어떤 수의 제곱이다. 우변의 분모 \(4a^2\)은 언제나 양수이므로 우변의 부호는 \(D\)의 부호와 같다. 즉 \(D > 0\)이면 제곱해서 양수가 되는 수는 두 개, \(D = 0\)이면 제곱해서 0이 되는 수는 0 하나, \(D < 0\)이면 제곱해서 음수가 되는 실수는 없다. 판별식은 '어떤 수의 제곱이 얼마여야 하는가'를 묻는 셈이다.
그림 2는 이 세 경우를 그래프로 나란히 놓은 것이다. 이차방정식의 실근은 \(y = ax^2 + bx + c\)의 그래프가 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표이므로, 실근의 개수가 곧 교점의 개수이다. 이 연결은 뒤의 '이차방정식과 이차함수'에서 다시 쓴다.
2.2.4예제 풀이
이차방정식 \(x^2 + 2(k - 1)x + k^2 - 3 = 0\)이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하여라. 또 중근을 가질 때의 근을 구하여라.
\(x\)의 계수가 짝수 꼴이므로 \(\dfrac{D}{4}\)를 쓴다. \(b' = k - 1\)이므로 \(\dfrac{D}{4} = (k - 1)^2 - (k^2 - 3) = k^2 - 2k + 1 - k^2 + 3 = -2k + 4\)이다.
서로 다른 두 실근을 가지려면 \(-2k + 4 > 0\)이어야 하므로 \(k < 2\)이다. 중근을 가지려면 \(-2k + 4 = 0\), 곧 \(k = 2\)이다. 이때 방정식은 \(x^2 + 2x + 1 = 0\), 즉 \((x + 1)^2 = 0\)이므로 중근은 \(x = -1\)이다.
답이 맞는지 \(k\)를 하나 골라 보자. \(k = 0\)이면 방정식은 \(x^2 - 2x - 3 = 0\)이고 \((x + 1)(x - 3) = 0\)이므로 실근 두 개가 나온다. \(k = 3\)이면 \(x^2 + 4x + 6 = 0\)이고 \(\dfrac{D}{4} = 4 - 6 = -2 < 0\)이므로 허근이다. 범위의 경계 \(k = 2\)를 지나며 근의 종류가 바뀌는 모습은 그림 1에서 \(c\)가 1을 지날 때와 같다. 아래 탐구 카드에서 계수를 바꾸며 근이 움직이는 길을 직접 따라가 보자.
- 판별식으로 근을 실근과 허근으로 나누는 것은 계수가 실수일 때만 뜻이 있다. 계수에 허수가 있으면 \(D\)가 실수가 아닐 수 있다.
근의 공식에서 근호 안의 \(D = b^2 - 4ac\)는 '제곱해서 얼마가 되어야 하는가'를 정하므로, 그 부호만으로 두 실근, 중근, 두 허근을 가를 수 있다. 처음 질문의 \(x^2 - 2x + c = 0\)은 \(\tfrac{D}{4} = 1 - c\)이므로 \(c < 1\)이면 두 실근, \(c = 1\)이면 중근, \(c > 1\)이면 두 허근을 갖는다.