점과 직선 사이의 거리
본문곧은 둑 \(3x + 4y - 12 = 0\)에서 떨어진 마을 \(P(5, 4)\)가 있다. 마을에서 둑까지 가장 짧은 길은 둑의 어디로 가야 하고, 그 길이는 얼마일까? 둑 위의 점을 하나하나 재 보지 않고 식 하나로 얻을 수 있을까?
1.3.1가장 짧은 길은 수직인 길
그림 1에서 둑 위의 점 \(Q\)를 왼쪽 끝부터 오른쪽으로 옮겨 보자. \(PQ\)의 길이는 줄어들다가 어느 점에서 가장 작아지고, 그 뒤로 다시 늘어난다. 가장 짧아지는 그 점에서 \(PQ\)는 둑과 수직이다.
까닭은 직각삼각형에 있다. \(P\)에서 직선에 수직으로 내린 선이 직선과 만나는 점을 \(H\)라 하면, 직선 위의 다른 점 \(Q\)에 대해 삼각형 \(PHQ\)는 \(H\)에서 직각이다. 따라서 빗변 \(PQ\)는 \(PH\)보다 길다. 즉 점과 직선 사이의 거리는 수선의 발 \(H\)까지의 거리 \(PH\)이다.
1.3.2공식 만들기
\(H\)를 구하려면 수선의 방정식을 세우고 직선과 연립하면 된다. 처음 질문에서 둑의 기울기는 \(-\tfrac{3}{4}\)이므로 수선의 기울기는 \(\tfrac{4}{3}\)이다. \(P(5, 4)\)를 지나는 수선은 \(y - 4 = \tfrac{4}{3}(x - 5)\)이고, 둑의 식과 연립하면 \(25x = 68\)이므로 \(H\left(\tfrac{68}{25}, \tfrac{24}{25}\right)\)이다. 따라서 \(PH = \sqrt{\left(\tfrac{57}{25}\right)^2 + \left(\tfrac{76}{25}\right)^2}\)인데, 분수 계산이 길고 실수하기 쉽다.
같은 계산을 문자로 끝까지 하면 깔끔한 공식이 나온다. \(P(x_1, y_1)\)과 직선 \(ax + by + c = 0\)에서, 수선의 방향은 \((a, b)\)이므로 \(H = (x_1 + at,\ y_1 + bt)\)로 쓸 수 있다.1 \(H\)가 직선 위에 있으므로 \(a(x_1 + at) + b(y_1 + bt) + c = 0\)이고, 여기서 \(t = -\dfrac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}\)이다. 그러면 \(PH = |t|\sqrt{a^2 + b^2}\)이다.
점 \(P(x_1, y_1)\)과 직선 \(ax + by + c = 0\) 사이의 거리는 \[d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
공식의 분자는 점의 좌표를 직선의 식에 넣은 값이다. \(P\)가 직선 위에 있으면 이 값은 0이고, 직선에서 멀어질수록 커진다. 분모는 직선의 식을 몇 배로 쓰든 거리가 같게 맞추어 준다. 가령 \(6x + 8y - 24 = 0\)으로 써도 분자와 분모가 함께 두 배가 되어 거리는 그대로이다.
그림 2처럼 평행한 두 직선 사이의 거리도 이 공식으로 구한다. 두 직선이 평행하면 한 직선 위의 어느 점을 골라도 다른 직선까지의 거리가 같기 때문이다.
1.3.3예제 풀이
처음 질문의 마을 \(P(5, 4)\)에서 둑 \(3x + 4y - 12 = 0\)까지의 거리를 공식으로 구하고, 2에서 구한 \(H\)로 확인하여라. 또 세 점 \(A(0, 3)\), \(B(4, 0)\), \(P(5, 4)\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하여라.
공식에 넣으면 \(d = \dfrac{|3 \cdot 5 + 4 \cdot 4 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{19}{5}\)이다. 2에서 구한 \(H\)로 확인하면 \(PH = \sqrt{\left(\tfrac{57}{25}\right)^2 + \left(\tfrac{76}{25}\right)^2} = \tfrac{19}{25}\sqrt{3^2 + 4^2} = \tfrac{19}{5}\)로 같다. 여기서 \(57 = 19 \times 3\), \(76 = 19 \times 4\)로 묶이는 것은 선분 \(PH\)가 수선의 방향 \((3, 4)\)를 따라 나 있기 때문이다.
삼각형의 넓이는 밑변을 \(AB\)로 잡으면 쉽다. \(A\)와 \(B\)는 둑 위의 점이므로 \(AB = \sqrt{16 + 9} = 5\)이고, 높이는 방금 구한 \(\tfrac{19}{5}\)이다. 따라서 넓이는 \(\tfrac{1}{2} \times 5 \times \tfrac{19}{5} = \tfrac{19}{2}\)이다. 아래 탐구 카드에서 점과 직선을 움직이며 가장 짧은 길과 넓이가 어떻게 변하는지 직접 확인해 보자.
- 직선 \(ax + by + c = 0\)의 기울기는 \(-\tfrac{a}{b}\)이고, 방향 \((a, b)\)의 기울기는 \(\tfrac{b}{a}\)이다. 두 기울기의 곱이 \(-1\)이므로 \((a, b)\)는 직선에 수직인 방향이다.
점에서 직선까지 가장 짧은 길은 직선에 수직인 길이고, 그 길이를 문자로 끝까지 계산하면 \(\tfrac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)라는 공식이 된다. 처음 질문의 마을에서 둑까지 가장 짧은 길은 수선의 발 \(\left(\tfrac{68}{25}, \tfrac{24}{25}\right)\)로 가는 길이고, 길이는 \(\tfrac{19}{5}\)이다.