이차곡면

발전소의 냉각탑은 허리가 잘록하고 위아래로 벌어진 곡면 모양이다. 그런데 이 곡면은 곧은 철근을 비스듬히 기대어 세워서 만들 수 있다. 곡면의 방정식은 \(x^2 + y^2 - z^2 = 1\)이다. 높이 \(z = k\)로 자르면 단면은 어떤 모양이고, \(x = 0\)인 평면으로 자르면 어떤 모양일까? 휘어진 곡면 위에 어떻게 곧은 직선이 통째로 놓일 수 있을까? \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\)의 부호만 바꾸면 곡면은 어떻게 달라질까?

3.2.1단면으로 곡면 읽기

\(x\), \(y\), \(z\)의 이차방정식으로 나타나는 곡면을 이차곡면이라 한다. 이차곡면은 좌표평면과 나란한 평면으로 자른 단면이 늘 이차곡선, 곧 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이나 직선 쌍이다. 그래서 수평 단면과 두 수직 단면을 차례로 그려 보면 곡면의 모양을 알 수 있다. 예를 들어 \(x^2 + y^2 - z^2 = 1\)은 \(z = k\)로 자르면 \(x^2 + y^2 = 1 + k^2\)인 원이고, \(x = 0\)으로 자르면 \(y^2 - z^2 = 1\)인 쌍곡선이다.

두 평면의 방정식을 곱하면 \(\lambda(x - z)(x + z) = \lambda(1 - y)(1 + y)\)가 되어 곡면의 방정식이 나오므로, 두 평면이 동시에 만족되는 교선 위의 모든 점은 곡면 위에 있다. 이렇게 직선이 움직이며 만드는 곡면을 선직면이라 한다. 일엽쌍곡면은 서로 다른 두 무리의 직선으로 덮여 있어, 한 점을 지나는 직선이 두 개씩 있다. 냉각탑은 이 성질 덕분에 곧은 철근으로 휘어진 곡면을 튼튼하게 지을 수 있다.¹

3.2.2부호가 정하는 모양

\(x^2 + y^2 \pm z^2 = \pm1\) 꼴에서 부호를 바꾸면 모양이 크게 바뀐다. 셋 다 양수이면 닫힌 타원면이다. 한 항이 음수이고 오른쪽이 1이면 허리가 있는 한 덩어리의 일엽쌍곡면이고, 오른쪽이 \(-1\)이면 위아래 두 덩어리로 나뉜 이엽쌍곡면이다. 오른쪽이 0이면 원뿔이다. 한 변수가 일차이면 포물면이 되는데, 남은 두 제곱 항의 부호가 같으면 그릇 모양의 타원포물면, 다르면 말안장 모양의 쌍곡포물면이다.

3.2.3예제 풀이

\(x = 1\)을 넣으면 \(1 + y^2 - z^2 = 1\), 곧 \(y^2 = z^2\)이므로 단면은 두 직선 \(y = z\)와 \(y = -z\)이다. 직선 \((1, t, t)\)를 곡면의 식에 넣으면 \(1 + t^2 - t^2 = 1\)이 모든 \(t\)에서 성립하므로, 이 직선은 곡면 위에 통째로 놓인다. 허리의 원 위 점 \((1, 0, 0)\)에서 이 직선은 위아래로 비스듬히 뻗어 나간다.

이엽쌍곡면 \(x^2 + y^2 - z^2 = -1\)은 \(z = 0\)으로 자르면 \(x^2 + y^2 = -1\)이어서 단면이 없다. \(z = 2\)로 자르면 \(x^2 + y^2 = 3\)인 반지름 \(\sqrt3\)의 원이다. \(|z| < 1\)인 곳에는 곡면이 없어 위아래 두 덩어리로 나뉜다. 즉 이차곡면은 좌표평면과 나란한 단면이 이차곡선이어서 단면을 차례로 그려 모양을 알아보며, 일엽쌍곡면처럼 곧은 직선으로 덮인 곡면도 있다.

아래 탐구 카드에서 \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\)의 부호를 바꾸며 곡면이 어떻게 달라지는지 보고, 곡면을 평면으로 자른 단면의 모양을 예측해 보자.

1. 러시아의 공학자 슈호프는 1896년 곧은 강철 막대로 일엽쌍곡면 모양의 급수탑을 처음 지었고, 1922년 모스크바에 높이 160 m의 슈호프 송신탑을 세웠다. 적은 재료로 바람에 강한 구조를 만들 수 있어 오늘날 냉각탑과 전망탑에도 이 모양을 쓴다.