포물선
본문위성 방송 안테나의 접시는 단면이 포물선 모양이고, 그 앞에 막대로 받친 작은 수신기가 달려 있다. 멀리서 나란히 날아온 전파가 접시에 반사되면 모두 그 수신기 한 점으로 모인다. 왜 하필 포물선이며, 수신기는 어디에 두어야 할까? 포물선을 '거리'로 정의하면 답이 보인다.
1.1.1포물선의 정의와 방정식
원은 한 점에서 거리가 같은 점들의 모임이었다. 포물선은 한 점과 한 직선에서 거리가 같은 점들의 모임이다.
평면 위의 한 점 F와 F를 지나지 않는 한 직선 \(l\)에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다. F를 초점, \(l\)을 준선이라 하고, 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 축, 축과 포물선의 교점을 꼭짓점이라 한다.
초점을 \(F(p, 0)\), 준선을 \(x = -p\)로 놓자. 포물선 위의 점 \(P(x, y)\)에 대하여 \(\overline{PF} = \sqrt{(x - p)^2 + y^2}\), 준선까지의 거리는 \(|x + p|\)이다. 두 값이 같으므로 양변을 제곱하면 \((x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2\), 정리하면 \[y^2 = 4px\] 이다. 그림 1에서 점 P를 움직여 보면 두 거리가 늘 같다. \(p\)를 키우면 초점이 멀어지며 포물선이 넓게 벌어진다.
초점이 \(y\)축 위에 있으면 \(x\)와 \(y\)를 바꾸어 \(x^2 = 4py\)가 된다. 고등학교 1학년에서 배운 \(y = ax^2\)은 \(x^2 = \dfrac{1}{a}y\)이므로 초점이 \(\left(0, \dfrac{1}{4a}\right)\)인 포물선이다.1
1.1.2포물선의 평행이동
포물선 \(y^2 = 4px\)를 \(x\)축 방향으로 \(m\), \(y\)축 방향으로 \(n\)만큼 평행이동하면 \((y - n)^2 = 4p(x - m)\)이 된다. 꼭짓점, 초점, 준선이 모두 같은 양만큼 옮겨 가므로 꼭짓점은 \((m, n)\), 초점은 \((m + p, n)\), 준선은 \(x = m - p\)이다. 전개된 식 \(y^2 + Ay + Bx + C = 0\)은 완전제곱식으로 고쳐 이 꼴로 바꾼다.
1.1.3예제 풀이
포물선 \(y^2 - 4y - 8x + 12 = 0\)의 꼭짓점, 초점, 준선을 구하여라. 또 지름 60 cm, 깊이 10 cm인 포물선 모양 접시 안테나의 수신기는 꼭짓점에서 얼마나 떨어진 곳에 두어야 하는가?
\(y^2 - 4y = 8x - 12\)에서 좌변을 완전제곱식으로 만들면 \((y - 2)^2 = 8x - 8 = 8(x - 1)\)이다. \(4p = 8\)이므로 \(p = 2\)이다. 이는 \(y^2 = 8x\)를 \(x\)축 방향으로 1, \(y\)축 방향으로 2만큼 옮긴 것이므로 꼭짓점 \((1, 2)\), 초점 \((3, 2)\), 준선 \(x = -1\)이다.
안테나 단면을 \(y^2 = 4px\)로 놓으면 테두리의 점 \((10, 30)\)이 포물선 위에 있으므로 \(900 = 40p\), 곧 \(p = 22.5\) cm이다. 수신기는 꼭짓점에서 22.5 cm 앞, 곧 초점에 두어야 모든 전파가 모인다. 접시의 깊이 10 cm보다 앞으로 튀어나오므로 막대로 받친다.
아래 탐구 카드에서 초점과 준선으로 포물선을 그리고, 꼭짓점을 옮길 때 초점과 준선이 어떻게 따라가는지 확인해 보자.
- 그래서 \(y = ax^2\)에서 \(a\)가 클수록 초점이 꼭짓점에 가까워져 포물선이 좁아진다. \(a = \dfrac{1}{4}\)이면 초점이 \((0, 1)\), 준선이 \(y = -1\)이다.
포물선은 초점과 준선에서 거리가 같은 점들의 집합이며, 초점 \((p, 0)\)과 준선 \(x = -p\)에 대한 방정식은 \(y^2 = 4px\)이다. 평행이동하면 꼭짓점, 초점, 준선이 함께 옮겨 간다. 그래서 처음 질문의 안테나는 축에 나란히 온 전파를 초점 한 점에 모으는 포물선의 성질을 이용한 것이며, 수신기는 초점에 둔다.