평행이동

게임 화면에서 캐릭터가 움직이거나, 도면 위에서 가구를 옮길 때 모양과 크기는 그대로이고 위치만 바뀝니다. 이런 이동을 평행이동이라고 합니다. 이 절에서는 평행이동으로 점의 좌표가 어떻게 바뀌는지 보고, 직선·원·포물선의 방정식이 어떻게 바뀌는지 탐구합니다. 점과 도형에서 부호가 반대로 보이는 까닭도 함께 찾습니다.

먼저 알면 좋은 것 좌표평면 원의 방정식 이차함수의 그래프

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평행이동

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포물선 \(y = x^2\)을 오른쪽으로 2만큼 옮기면 \(y = (x - 2)^2\)이 된다. 오른쪽으로 옮겼는데 왜 \(x\)에서 2를 뺄까? 점을 옮기는 규칙과 식을 바꾸는 규칙은 어떻게 이어져 있을까?

\(m\) = \(n\) =

그림 1. 옮긴 그래프 위의 점에서 \(m\)과 \(n\)을 빼면 원래 그래프 위의 점이 되므로, 새 식은 \(x\) 대신 \(x - m\), \(y\) 대신 \(y - n\)을 넣은 꼴이다.

먼저 알아야 할 것좌표평면, 원의 방정식(원의 방정식), 중학교의 이차함수 \(y = a(x - p)^2 + q\)의 그래프.

1.6.1점을 옮기기

점 \((1, 3)\)을 오른쪽으로 2, 위로 1만큼 옮기면 \((3, 4)\)가 된다. 일반적으로 점 \((x, y)\)를 \(x\)축 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(n\)만큼 옮기면 \((x + m, y + n)\)이 된다. 이렇게 모양과 크기를 바꾸지 않고 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 평행이동이라 한다.

점의 규칙은 직관과 같다. 오른쪽으로 옮기면 \(x\)좌표가 커지고, 위로 옮기면 \(y\)좌표가 커진다. 그런데 도형의 방정식에서는 부호가 반대로 보인다. 이 차이를 풀어 보자.

1.6.2도형을 옮기기

\(y = x^2\)을 \(x\)축 방향으로 \(m\), \(y\)축 방향으로 \(n\)만큼 옮긴 도형을 \(G\)라 하자. \(G\) 위의 점 \(P(x, y)\)를 하나 잡으면, 이 점은 원래 포물선 위의 어떤 점을 옮겨 온 것이다. 거꾸로 \(P\)를 \(-m\), \(-n\)만큼 되돌리면 원래 점 \((x - m, y - n)\)이 나온다.

되돌린 점은 원래 포물선 위에 있으므로 \(y = x^2\)을 만족한다. 따라서 \(y - n = (x - m)^2\)이다. 즉 \(G\)의 방정식에는 \(x\) 자리에 \(x - m\)이, \(y\) 자리에 \(y - n\)이 들어간다. 식이 '반대 부호'로 보이는 까닭은, 새 도형의 점을 원래 도형으로 되돌려 검사하기 때문이다.

정리 1.6.1 도형의 평행이동

방정식 \(f(x, y) = 0\)이 나타내는 도형을 \(x\)축 방향으로 \(m\)만큼, \(y\)축 방향으로 \(n\)만큼 평행이동한 도형의 방정식은 \(f(x - m, y - n) = 0\)이다.

그림 1의 슬라이더로 \(m = 2\), \(n = 1\)에 두면 새 포물선은 \(y - 1 = (x - 2)^2\), 곧 \(y = (x - 2)^2 + 1\)이다. 중학교에서 \(y = a(x - p)^2 + q\)의 꼭짓점이 \((p, q)\)라고 배운 것이 바로 이 정리의 한 경우이다.¹

그림 2. 점은 좌표에 \(m\), \(n\)을 더해 옮기고, 도형의 방정식은 되돌린 점을 넣어 검사하므로 \(m\), \(n\)을 뺀다.

1.6.3예제 풀이

예제 1.6.2

원 \(x^2 + y^2 - 2x + 4y = 0\)을 평행이동 \((x, y) \to (x + 3, y - 1)\)로 옮긴 원의 방정식과 중심을 구하여라. 또 직선 \(2x - y + 1 = 0\)을 같은 평행이동으로 옮긴 직선을 구하여라.

먼저 원을 완전제곱식으로 쓰면 \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 5\)이므로 중심은 \((1, -2)\), 반지름은 \(\sqrt{5}\)이다. \(m = 3\), \(n = -1\)이므로 \(x\) 대신 \(x - 3\), \(y\) 대신 \(y + 1\)을 넣는다. 그러면 \((x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 5\)이다.

중심은 \((4, -3)\)이다. 이것은 원래 중심 \((1, -2)\)를 점의 규칙으로 옮긴 \((1 + 3, -2 - 1)\)과 같다. 즉 원은 중심만 옮겨 다시 써도 되고, 반지름은 그대로이다.

직선은 \(2(x - 3) - (y + 1) + 1 = 0\), 곧 \(2x - y - 6 = 0\)이다. 기울기 2는 그대로이고 \(y\)절편만 1에서 \(-6\)으로 바뀌었다. 원래 직선 위의 점 \((0, 1)\)을 옮긴 \((3, 0)\)을 넣으면 \(6 - 0 - 6 = 0\)으로 새 직선 위에 있다. 아래 탐구 카드에서 점과 그래프를 직접 옮기며 두 규칙을 비교해 보자.

\(y = f(x)\)꼴의 그래프라면 \(y - n = f(x - m)\), 곧 \(y = f(x - m) + n\)이다. \(n\)을 오른쪽으로 넘기면 더하는 꼴이 되어 직관과 같아 보인다.

마무리

점은 \((x + m, y + n)\)으로 옮기지만, 옮긴 도형의 방정식은 새 점을 원래 도형으로 되돌려 검사하므로 \(x\) 대신 \(x - m\), \(y\) 대신 \(y - n\)을 넣는다. 그래서 처음 질문에서 오른쪽으로 2만큼 옮긴 포물선은 \(y = (x - 2)^2\)이고, 부호가 반대로 보이는 것은 되돌리는 방향 때문이다.

탐구 1

도형을 옮기면 각 점의 좌표는 어떻게 바뀔까?

평행이동 · 점의 좌표

\(x\)축 방향 \(a =\) 6 \(y\)축 방향 \(b =\) 4

—

점 \(A\): —
옮긴 점 \(A'\): —
옮긴 거리 \(AA'\): —

원래 도형의 꼭짓점 \(A\)나 옮긴 도형의 꼭짓점 \(A'\)을 끌 수 있다. \(A'\)을 끌면 \(a, b\)가 바뀐다.

질문방 도면에서 책상을 오른쪽으로 5칸, 위로 3칸 옮기려고 한다. 책상의 네 모서리 좌표는 각각 어떻게 바뀔까? 책상의 모양이나 크기는 바뀔까?
복원점 \((x, y)\)는 원점에서 \(x\)축 방향으로 \(x, y\)축 방향으로 \(y\)만큼 간 위치이다. 또 두 점 사이의 거리는 좌표의 차로 구한다.
설명점 \(P(x, y)\)를 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 옮기는 것을 평행이동이라 하고 \(P(x, y) \to P'(x + a, y + b)\)로 나타낸다. 도형을 평행이동하면 모든 점이 같은 방향으로 같은 거리 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)만큼 움직인다. 그래서 두 점 사이의 좌표의 차가 그대로이므로 변의 길이와 각의 크기, 넓이가 바뀌지 않는다. 즉 모양과 크기는 그대로이고 위치만 바뀐다.
연결평행이동은 지도 위 이동, 화면 속 그림 옮기기, 도면 배치에 쓰인다. 또 이 규칙을 거꾸로 쓰면 도형의 방정식이 평행이동에 따라 어떻게 바뀌는지 알 수 있어서, 함수의 그래프를 옮기는 일과 원의 중심을 옮기는 일이 모두 여기서 나온다.
적용\(a, b\)를 바꾸며 화살표가 모두 같은 길이, 같은 방향인지 보자. \(A'\)을 끌어 \(A(-6, -4)\)가 \((0, 1)\)로 가게 하면 \(a = 6, b = 5\)이고, 다른 꼭짓점도 모두 같은 만큼 옮겨 간다.
판단점은 \((x + a, y + b)\)로 옮겨지지만, 도형의 방정식에서는 \(x\) 대신 \(x - a\)를 넣는다. 부호가 반대로 보이는 이 차이는 다음 카드에서 다룬다. 또 도형을 돌리거나 뒤집는 이동은 평행이동이 아니다. 평행이동에서는 도형의 방향이 바뀌지 않는다.

확인조건이 달라지면

평행이동으로 점 \((2, -1)\)이 점 \((5, 3)\)으로 옮겨졌다. 같은 평행이동으로 점 \((-1, 0)\)은 어디로 옮겨질까?

탐구 2

도형을 옮기면 방정식의 부호는 왜 반대로 바뀔까?

평행이동 · 도형의 방정식

\(x\)축 방향 \(a =\) 3 \(y\)축 방향 \(b =\) −1

—

원래 도형 위의 \(Q\): —
옮긴 점 \(Q'\): —
\(Q'\)을 새 식에 넣으면: —

원래 도형 위의 점 \(Q\)를 도형을 따라 끌 수 있다.

질문포물선 \(y = x^2\)을 오른쪽으로 2, 위로 3만큼 옮기면 \(y = (x - 2)^2 + 3\)이 된다. 오른쪽으로 옮겼는데 왜 \(x + 2\)가 아니라 \(x - 2\)일까?
복원점의 평행이동은 \((x, y) \to (x + a, y + b)\)이다. 또 방정식 \(f(x, y) = 0\)의 그래프는 이 식을 만족하는 점 전체이다.
설명옮긴 도형 위의 점을 \((X, Y)\)라 하면, 이 점은 원래 도형 위의 점 \((X - a, Y - b)\)를 옮겨 온 것이다. 그래서 \((X, Y)\)가 새 도형 위에 있을 조건은 \(f(X - a, Y - b) = 0\)이다. 문자를 다시 \(x, y\)로 쓰면, 방정식 \(f(x, y) = 0\)이 나타내는 도형을 \(x\)축의 방향으로 \(a\)만큼, \(y\)축의 방향으로 \(b\)만큼 평행이동한 도형의 방정식은 \(f(x - a, y - b) = 0\)이다. 즉 점을 옮길 때는 더하고 식에서는 빼는 것은, 옮긴 점에서 거꾸로 돌아가 원래 식을 확인하기 때문이다.
연결원 \(x^2 + y^2 = r^2\)을 옮기면 중심이 \((a, b)\)인 원 \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\)이 된다. 이차함수 \(y = a(x - p)^2 + q\)의 꼭짓점이 \((p, q)\)인 까닭도 같고, 대칭이동도 같은 방법으로 식을 바꾼다.
적용원을 고르고 \(a = 3, b = -1\)로 두면 새 식의 중심이 \((3, -1)\)로 옮겨 간다. \(Q\)를 끌면서 \(Q'\)을 새 식에 넣은 값이 늘 성립하는지 보자. 직선 \(y = \frac{x}{2}\)를 고르고 \(a = 2, b = 1\)로 옮기면 직선이 제자리에 겹치는 것도 확인할 수 있다.
판단\(x\) 대신 \(x + a\)를 넣는 실수가 가장 흔한데, 그러면 반대 방향으로 옮겨진다. 또 평행이동한 도형이 원래 도형과 같을 수도 있다. 직선을 그 직선의 방향으로 옮기면 직선은 그대로이므로, 식이 그대로라고 해서 옮기지 않은 것은 아니다.

확인조건이 달라지면

직선 \(2x - y + 1 = 0\)을 \(x\)축의 방향으로 1만큼, \(y\)축의 방향으로 \(-2\)만큼 평행이동한 직선의 방정식은?

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