이차함수의 그래프와 직선

포물선 \(y = x^2\)과 기울기가 2인 직선 \(y = 2x + k\)가 있다. \(k\)를 바꾸면 직선은 위아래로 평행하게 움직인다. 두 그래프가 두 번 만나다가 한 번 스치고, 결국 만나지 않게 되는 경계는 어떻게 계산할까?

\(k\) =

2.5.1만나는 점은 두 식을 함께 만족한다

그림 1에서 \(k = 3\)에 두면 직선 \(y = 2x + 3\)은 포물선과 두 점에서 만난다. 만나는 점은 두 그래프 위에 동시에 있으므로 \(y = x^2\)도, \(y = 2x + 3\)도 만족한다. 따라서 두 식의 \(y\)가 같다고 놓은 \(x^2 = 2x + 3\)을 풀면 교점의 \(x\)좌표가 나온다.

이 식을 정리하면 \(x^2 - 2x - 3 = 0\), 즉 \((x + 1)(x - 3) = 0\)이다. 그래서 교점은 \(x = -1\)인 점 \((-1, 1)\)과 \(x = 3\)인 점 \((3, 9)\)이다. 연립방정식을 풀어 교점을 찾는 것은 중학교에서 두 직선의 교점을 구할 때 하던 일과 같다. 다만 이번에는 한 식을 다른 식에 넣으면 이차방정식이 생긴다.

2.5.2교점의 개수는 판별식이 정한다

일반적으로 포물선 \(y = ax^2 + bx + c\)와 직선 \(y = mx + n\)의 교점의 \(x\)좌표는 \(ax^2 + bx + c = mx + n\), 곧 \[ax^2 + (b - m)x + (c - n) = 0\]의 실근이다. 실근이 두 개면 교점도 두 개이고, 실근이 없으면 교점도 없다. 이 이차방정식의 판별식을 \(D\)라 하면 다음이 성립한다.

이 정리는 앞 절에서 본 '그래프와 \(x\)축'의 경우를 넓힌 것이다. \(x\)축은 직선 \(y = 0\)이므로, \(m = n = 0\)을 넣으면 그대로 앞 절의 정리가 된다. 다시 말해 \(x\)축 대신 기울어진 직선을 기준으로 삼아도 같은 판별법이 통한다.

그림 2의 가운데처럼 직선이 포물선과 한 점에서만 만나며 그 점에서 포물선을 가로지르지 않을 때, 직선을 포물선의 접선이라 하고 그 점을 접점이라 한다.¹

2.5.3처음 질문으로 돌아가기

\(y = x^2\)과 \(y = 2x + k\)에서 \(x^2 = 2x + k\), 곧 \(x^2 - 2x - k = 0\)이다. 이 방정식의 \(\dfrac{D}{4} = 1 + k\)이다. 따라서 \(k > -1\)이면 두 점, \(k = -1\)이면 한 점, \(k < -1\)이면 만나지 않는다. 그림 1에서 슬라이더를 내리며 확인한 경계 \(k = -1\)이 계산으로 나온 것이다.

경계에서 방정식은 \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 = 0\)이 되어 중근 \(x = 1\)을 갖는다. 그러면 접점은 \((1, 1)\)이고, 접선은 \(y = 2x - 1\)이다.

2.5.4예제 풀이

직선이 \((0, -4)\)를 지나므로 기울기를 \(m\)이라 하면 \(y = mx - 4\)로 쓸 수 있다. 이 직선과 포물선의 교점에서 \(x^2 + 1 = mx - 4\), 곧 \(x^2 - mx + 5 = 0\)이다.

접하려면 이 방정식이 중근을 가져야 하므로 \(D = m^2 - 20 = 0\)이다. 따라서 \(m = \pm 2\sqrt{5}\)이고, 접선은 \(y = 2\sqrt{5}x - 4\)와 \(y = -2\sqrt{5}x - 4\) 두 개이다.

\(m = 2\sqrt{5}\)일 때 중근은 \(x = \dfrac{m}{2} = \sqrt{5}\)이므로 접점은 \((\sqrt{5}, 6)\)이다. 이 점이 직선 위에 있는지 보면 \(2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - 4 = 10 - 4 = 6\)으로 맞는다. 포물선 바깥의 한 점에서 그은 접선이 좌우로 하나씩 두 개 생긴다는 결과는 그림으로도 자연스럽다. 아래 탐구 카드에서 직선의 기울기와 절편을 바꾸며 교점이 생기고 사라지는 순간을 직접 찾아보자.

1. \(y\)축에 평행한 직선 \(x = p\)는 포물선과 언제나 한 점에서 만나지만 접선이 아니다. 이 직선은 \(y = mx + n\)꼴로 쓸 수 없어서 위의 판별법에 들어가지 않는다.