절대부등식

둘레가 20 cm인 직사각형 가운데 넓이가 가장 큰 것은 정사각형이라고 한다. 이것을 '가로와 세로의 평균은 넓이의 제곱근보다 작지 않다'는 부등식으로 바꾸어 말할 수 있다. 어떤 양수를 넣어도 성립하는 이런 부등식은 어떻게 확인할까?

\(a\) =

2.8.1절대부등식

\(x^2 - 2x + 1 \ge 0\)은 \(x\)에 어떤 실수를 넣어도 성립한다. 좌변이 \((x - 1)^2\)이고 실수의 제곱은 0 이상이기 때문이다. 반면 \(x^2 - 4 > 0\)은 \(x = 3\)에서는 성립하지만 \(x = 1\)에서는 성립하지 않는다.

앞의 것처럼 문자에 어떤 실수를 넣어도 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라 한다. 공통수학1에서 배운 이차부등식의 해가 모든 실수인 경우가 바로 절대부등식이다. 증명할 때는 '양변의 차를 제곱식으로 바꾸어 0 이상임을 보이는' 방법을 가장 많이 쓴다.¹

2.8.2산술평균과 기하평균

두 양수 \(a\), \(b\)의 산술평균은 \(\dfrac{a + b}{2}\), 기하평균은 \(\sqrt{ab}\)이다. 두 값의 차를 계산해 보자. \(\dfrac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2}\)인데, 분자는 \((\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2\)이다.

따라서 차는 \(\dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0\)이고, 산술평균은 기하평균보다 작지 않다. 등호는 \(\sqrt{a} = \sqrt{b}\), 곧 \(a = b\)일 때만 성립한다.

그림 1은 같은 사실을 원으로 보여 준다. 지름을 \(a\)와 \(b\)로 나누는 점에서 수직으로 세운 선분은, 닮은 직각삼각형 때문에 길이의 제곱이 \(ab\)가 된다. 이 선분은 반원 안에 있으므로 반지름보다 길 수 없고, \(a = b\)일 때 정확히 반지름이 된다. 슬라이더로 \(a\)를 5에 가깝게 옮기면 두 길이가 같아지는 순간이 보인다.

2.8.3예제 풀이

가로를 \(a\), 세로를 \(b\)라 하면 \(a + b = 10\)이다. 산술평균과 기하평균의 관계에서 \(\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}\)이므로 \(5 \ge \sqrt{ab}\), 곧 \(ab \le 25\)이다. 등호는 \(a = b = 5\)일 때 성립하므로 넓이의 최댓값은 25 \(\text{cm}^2\)이다.

두 번째 식은 \(x\)와 \(\dfrac{9}{x}\)가 모두 양수이므로 같은 관계를 쓸 수 있다. \(x + \dfrac{9}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6\)이다. 곱이 상수 9가 되도록 짝지은 것이 요령이다.

등호는 \(x = \dfrac{9}{x}\), 곧 \(x^2 = 9\)에서 \(x = 3\)일 때 성립한다. 따라서 최솟값은 6이다. 확인해 보면 \(x = 3\)에서 \(3 + 3 = 6\)이고, \(x = 2\)에서 \(2 + 4.5 = 6.5\), \(x = 4\)에서 \(4 + 2.25 = 6.25\)로 모두 6보다 크다. 아래 탐구 카드에서 그래프로 두 평균을 비교하며 등호가 성립하는 순간을 직접 찾아보자.

1. 양변이 모두 0 이상이면 제곱해서 비교해도 된다. 가령 \(|a| + |b| \ge |a + b|\)는 양변을 제곱한 차가 \(2(|ab| - ab) \ge 0\)이므로 성립하고, 등호는 \(ab \ge 0\)일 때이다.