명제와 조건

본문

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"\(x\)가 4의 배수이면 \(x\)는 2의 배수이다"는 참이고, "\(x\)가 2의 배수이면 \(x\)는 4의 배수이다"는 거짓이다. 우리는 이것을 예를 몇 개 들어 짐작한다. 그런데 예를 아무리 많이 들어도 '모든 경우'를 다 확인한 것은 아니다. 참과 거짓을 확실하게 가르는 방법은 무엇일까?

\(p\): \(x\)는 의 배수\(q\): \(x\)는 의 배수

그림 1. 명제 '\(p\)이면 \(q\)이다'는 \(p\)를 만족하는 수가 모두 \(q\)도 만족할 때, 곧 \(P \subset Q\)일 때 참이다.

먼저 알아야 할 것부분집합(집합 사이의 포함관계), 여집합(집합의 연산), 부등식과 수직선.

2.4.1명제와 조건

"3은 홀수이다"는 참이고, "4는 홀수이다"는 거짓이다. 두 문장처럼 참인지 거짓인지를 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제라 한다. 그런데 "\(x\)는 홀수이다"는 \(x\)에 무엇을 넣느냐에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다. 이렇게 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해지는 문장이나 식을 조건이라 한다.

조건을 다룰 때 쓰는 열쇠가 집합이다. 전체집합 \(U\)의 원소 가운데 조건 \(p\)를 참이 되게 하는 것을 모은 집합을 \(p\)의 진리집합이라 하고, 보통 대문자 \(P\)로 쓴다. 가령 \(U = \{1, 2, \ldots, 24\}\)에서 조건 '\(x\)는 4의 배수'의 진리집합은 \(\{4, 8, 12, 16, 20, 24\}\)이다.

2.4.2'\(p\)이면 \(q\)이다'의 참, 거짓

명제 '\(p\)이면 \(q\)이다'는 \(p \to q\)로 쓰고, \(p\)를 가정, \(q\)를 결론이라 한다. 이 명제가 주장하는 것은 '\(p\)를 만족하는 것은 언제나 \(q\)도 만족한다'이다. 이것을 진리집합으로 옮기면 '\(P\)의 원소는 모두 \(Q\)의 원소'이고, 이는 곧 \(P \subset Q\)이다.

정리 2.4.1 명제와 진리집합

두 조건 \(p\), \(q\)의 진리집합을 \(P\), \(Q\)라 하면, 명제 \(p \to q\)가 참이면 \(P \subset Q\)이고, \(P \subset Q\)이면 \(p \to q\)는 참이다.

그림 1의 슬라이더를 \(p\)는 4의 배수, \(q\)는 2의 배수에 두면 \(P\)의 칸이 모두 \(Q\) 안에 들어 있다. 반대로 \(p\)를 2의 배수, \(q\)를 4의 배수로 바꾸면 2, 6, 10 같은 칸이 \(Q\) 밖으로 나온다. 이렇게 \(P\)에는 있지만 \(Q\)에는 없는 원소가 반례이다. 반례가 하나라도 있으면 명제는 거짓이다.

그림 2. \(P\) 가운데 \(Q\) 밖으로 나간 부분이 반례이고, 그 부분이 비어 있을 때만 명제가 참이다.

2.4.3'모든'과 '어떤'

조건 앞에 '모든'이나 '어떤'을 붙이면 명제가 된다. '모든 \(x\)에 대하여 \(p\)'는 \(P = U\)일 때 참이고, '어떤 \(x\)에 대하여 \(p\)'는 \(P \ne \varnothing\)일 때 참이다. 따라서 '모든'이 붙은 명제는 반례 하나로 거짓이 되고, '어떤'이 붙은 명제는 예 하나로 참이 된다.

부정할 때는 두 말이 서로 바뀐다. "모든 학생이 안경을 썼다"의 부정은 "모든 학생이 안경을 쓰지 않았다"가 아니라 "안경을 쓰지 않은 학생이 있다"이다. 기호로는 '모든 \(x\)에 대하여 \(p\)'의 부정이 '어떤 \(x\)에 대하여 \({\sim}p\)'이다.¹

2.4.4예제 풀이

예제 2.4.2

실수 \(x\)에 대하여 명제 '\(1 \le x \le 3\)이면 \(x \le a\)이다'가 참이 되는 실수 \(a\)의 최솟값을 구하여라. 또 명제 '\(x^2 - 4x + 3 < 0\)이면 \(x > 0\)이다'의 참, 거짓을 판별하여라.

진리집합은 \(P = \{x \mid 1 \le x \le 3\}\), \(Q = \{x \mid x \le a\}\)이다. 명제가 참이려면 \(P \subset Q\)이어야 하므로, 수직선에서 \(P\)의 오른쪽 끝 3이 \(Q\) 안에 있어야 한다. 따라서 \(3 \le a\)이고, \(a\)의 최솟값은 3이다.

두 번째 명제의 가정을 풀면 \((x - 1)(x - 3) < 0\)에서 \(1 < x < 3\)이다. 그러면 \(P = \{x \mid 1 < x < 3\}\), \(Q = \{x \mid x > 0\}\)이고, \(P\)의 모든 원소가 양수이므로 \(P \subset Q\)이다. 따라서 참이다.

첫 번째 답을 점검해 보자. \(a = 3\)이면 \(Q = \{x \mid x \le 3\}\)이 \(P\)를 품는다. \(a = 2.9\)이면 \(x = 3\)이 \(P\)에는 있지만 \(Q\)에는 없으므로 반례가 되어 명제가 거짓이다. 경계값 하나가 참과 거짓을 가른다. 아래 탐구 카드에서 진리집합을 직접 움직이며 반례가 생기고 사라지는 순간을 찾아보자.

조건 \(p\)의 부정 \({\sim}p\)의 진리집합은 \(P^C\)이다. 그래서 '\(p\) 그리고 \(q\)'의 부정은 드모르간의 법칙에 따라 '\({\sim}p\) 또는 \({\sim}q\)'이다.

마무리

조건은 진리집합으로 바꾸어 다루며, 명제 \(p \to q\)는 \(P \subset Q\)일 때 참이고 \(P\) 가운데 \(Q\) 밖의 원소가 반례가 된다. 예를 많이 드는 것으로는 참을 확신할 수 없지만, 포함관계를 보이면 모든 경우를 한꺼번에 확인한 셈이다. 그래서 처음 질문에서 4의 배수의 집합은 2의 배수의 집합에 포함되어 앞 명제는 참이고, 2가 반례이므로 뒤 명제는 거짓이다.

탐구 1

'모든'과 '어떤'이 붙으면 참·거짓은 어떻게 정해질까?

조건과 진리집합 · 모든 · 어떤

—

모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)\): —
어떤 \(x\)에 대하여 \(p(x)\): —

—

질문"\(x^2 \ge x\)"는 참일까, 거짓일까? 앞에 '모든 자연수 \(x\)에 대하여'를 붙이면 어떻게 되고, '어떤 정수 \(x\)에 대하여'를 붙이면 어떻게 될까?
복원집합 \(U\)의 원소 가운데 어떤 성질을 만족하는 것만 모으면 \(U\)의 부분집합이 된다. 또 여집합 \(P^C\)는 \(U\)에서 \(P\)에 속하지 않는 원소 전체이다.
설명참인지 거짓인지 분명하게 판별할 수 있는 문장이나 식을 명제, 변수의 값에 따라 참, 거짓이 정해지는 문장이나 식을 조건이라 한다. 전체집합 \(U\)의 원소 가운데 조건 \(p(x)\)를 참이 되게 하는 것 전체를 \(p\)의 진리집합 \(P\)라 하고, '\(p\)가 아니다'를 \(p\)의 부정 \({\sim}p\)라 하면 \({\sim}p\)의 진리집합은 \(P^C\)이다. 그런데 조건 앞에 '모든'이나 '어떤'을 붙이면 명제가 된다. "모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)"는 \(P = U\)일 때만 참이므로, 거짓임을 보이려면 반례 하나면 된다. 반면 "어떤 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)"는 \(P \ne \varnothing\)이면 참이므로, 참임을 보이려면 예 하나면 된다.
연결"모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)"의 부정은 "어떤 \(x\)에 대하여 \({\sim}p(x)\)"이고, "어떤 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)"의 부정은 "모든 \(x\)에 대하여 \({\sim}p(x)\)"이다. 집합으로 쓰면 \(P = U\)의 부정이 \(P^C \ne \varnothing\)인 셈이다. 이 장 끝의 절대부등식은 '모든 실수 \(x\)에 대하여' 성립하는 부등식이다.
적용조건 \(x^2 \ge x\)에서 두 전체집합을 비교해 보자. 칸을 눌러 \(x = 0, -2\)에서의 계산을 확인하면 정수에서는 늘 성립한다는 것이 보인다. \(x^2 = 4\)는 전체집합에 따라 진리집합이 달라지고, \(x^2 < 0\)에서는 '모든'과 '어떤' 명제가 모두 거짓이다.
판단조건의 참, 거짓은 전체집합을 정해야 결정된다. 같은 조건도 \(U\)가 바뀌면 진리집합이 바뀐다. 또 "모든 \(x\)에 대하여 \(p\)"의 부정을 "모든 \(x\)에 대하여 \({\sim}p\)"로 쓰는 실수가 많다. '모두 그렇다'를 부정하면 '그렇지 않은 것이 하나는 있다'가 된다.

확인조건이 달라지면

전체집합 \(U = \{-1, 0, 1\}\)일 때 참인 명제는?

탐구 2

'\(p\)이면 \(q\)이다'가 참인지 집합으로 어떻게 판단할까?

명제 \(p \to q\) · 진리집합의 포함관계

\(p: a \le x \le b, a =\) −1

\(b =\) 1

—

\(P \subset Q\): —
명제 \(p \to q\): —

질문"\(-1 \le x \le 1\)이면 \(x^2 \le 4\)이다"는 참일까? 무한히 많은 실수를 하나씩 넣어 볼 수 없는데 어떻게 확신할 수 있을까?
복원조건 \(p\)를 참이 되게 하는 값 전체가 진리집합 \(P\)이다. 또 부등식의 해는 수직선 위의 구간으로 나타나며, 끝점이 포함되면 속이 찬 점, 포함되지 않으면 빈 점으로 그린다.
설명'\(p\)이면 \(q\)이다'를 기호로 \(p \to q\)라 쓰고, \(p\)를 가정, \(q\)를 결론이라 한다. 이 명제는 \(p\)를 만족하는 값이 언제나 \(q\)도 만족할 때 참이다. 진리집합으로 말하면 \(P \subset Q\)일 때 참이고, \(P \not\subset Q\)일 때 거짓이다. 그래서 하나씩 넣어 보는 대신 두 구간의 포함관계만 보면 된다. 거짓일 때 \(P\)에는 속하지만 \(Q\)에는 속하지 않는 값, 곧 \(P \cap Q^C\)의 원소가 반례이다. 명제가 참이면 \(p \Rightarrow q\)로 쓴다.
연결이 판단법은 다음 절의 역과 대우, 그다음 절의 충분조건과 필요조건에서 그대로 쓰인다. 모두 진리집합 사이의 포함관계를 묻는 질문이기 때문이다.
적용\(q: x^2 \le 4\)에서 명제가 참이 되도록 \(b\)를 가장 크게 하면 2가 된다. \(q: x > 0\)에서 \(a = 0, b = 2\)로 두면 끝점 0이 반례이다. \(q: x^2 - 1 > 0\)에서는 구간이 \(-1\)과 1 사이를 피해 한쪽 바깥에 통째로 놓여야 명제가 참이 된다.
판단\(P\)에 속하는 값 몇 개가 \(Q\)에 들어간다고 명제가 참이 되지는 않는다. \(P\)의 모든 원소가 \(Q\)에 있어야 한다. 반대로 거짓임을 보일 때는 반례 하나로 충분하며, 끝점 하나가 반례가 되는 경우를 특히 조심해야 한다. 또 가정이 공집합이면\((P = \varnothing)\) 반례가 없으므로 명제는 참으로 본다.

확인조건이 달라지면

\(p: -1 \le x \le 2\)일 때 명제 \(p \to q\)가 참이 되는 조건 \(q\)는?

읽기 3

정의와 정리는 어떻게 다르고, 조건은 어떻게 부정할까?

읽기 · 정의 · 정리 · 부정

교과서의 문장은 "~라 한다"로 끝나기도 하고 "~이다"로 끝나기도 한다. 두 문장은 하는 일이 다르다. 수학의 문장을 어떻게 읽고, 조건을 어떻게 부정하는지 정리해 보자.

1정의는 약속, 정리는 증명된 참인 명제

용어의 뜻을 명확하게 정한 문장을 정의라 한다. 예를 들어 "2로 나누어떨어지는 정수를 짝수라 한다"는 정의이고, 정의는 약속이므로 증명하지 않는다. 반면 정의와 이미 참으로 밝혀진 성질을 근거로 어떤 명제가 참임을 논리적으로 밝히는 과정을 증명이라 하고, 증명된 명제 가운데 기본이 되는 것을 정리라 한다. "두 짝수의 합은 짝수이다"는 정리이며, \(2m + 2n = 2(m + n)\)으로 증명된다.

2가정과 결론

명제 '\(p\)이면 \(q\)이다'\((p \to q)\)에서 \(p\)가 가정, \(q\)가 결론이다. 그래서 정리를 쓸 때는 가정이 성립하는지 먼저 확인해야 한다. 예를 들어 "삼각형이 직각삼각형이면 \(a^2 + b^2 = c^2\)이다"는 직각삼각형이 아닌 삼각형에 쓸 수 없다.

\(P \subset Q\)이면 명제 \(p \to q\)는 참이다. \(P\) 밖으로 나간 부분이 없으므로 반례가 없다.

3부정하는 규칙

조건 \(p\)의 부정 \({\sim}p\)의 진리집합은 \(P^C\)이고, \({\sim}({\sim}p)\)는 다시 \(p\)이다. 또 '그리고'와 '또는'이 들어간 조건은 드모르간의 법칙대로 부정한다. \((P \cap Q)^C = P^C \cup Q^C\)이므로 '\(p\) 그리고 \(q\)'의 부정은 '\({\sim}p\) 또는 \({\sim}q\)'이다.

조건 또는 명제	부정
\(x = 1\)	\(x \ne 1\)
\(x > 2\)	\(x \le 2\)
\(x > 0\) 그리고 \(y > 0\)	\(x \le 0\) 또는 \(y \le 0\)
\(x = 0\) 또는 \(y = 0\)	\(x \ne 0\) 그리고 \(y \ne 0\)
모든 \(x\)에 대하여 \(p(x)\)	어떤 \(x\)에 대하여 \({\sim}p(x)\)

판단"\(x > 2\)"의 부정을 "\(x < 2\)"로 쓰면 \(x = 2\)가 어느 쪽에도 속하지 않는다. 조건과 그 부정의 진리집합은 합치면 전체집합, 겹치면 공집합이 되어야 한다.

확인조건이 달라지면

실수 \(x, y\)에 대하여 조건 '\(x > 0\) 그리고 \(y > 0\)'의 부정은?