충분조건과 필요조건

"서울에 산다"는 "한국에 산다"를 보장한다. 하지만 "한국에 산다"만으로는 서울에 산다고 할 수 없다. 두 조건 사이의 이런 관계를 수학에서는 '충분'과 '필요'라는 말로 부른다. 어느 쪽이 충분하고 어느 쪽이 필요할까?

\(p\): \(|x| < a\), \(a\) =

2.6.1화살표의 두 끝

명제 \(p \to q\)가 참일 때 이것을 \(p \Rightarrow q\)로 쓴다. 이때 \(p\)는 \(q\)이기 위한 충분조건, \(q\)는 \(p\)이기 위한 필요조건이라 한다. \(p\)가 성립하기만 하면 \(q\)가 저절로 따라오니 \(p\)는 '충분'하고, \(p\)가 성립하려면 \(q\)는 어떻게든 성립해야 하니 \(q\)는 '필요'하다.

처음 질문에서 \(p\)를 '서울에 산다', \(q\)를 '한국에 산다'로 두면 \(p \Rightarrow q\)이다. 따라서 서울에 사는 것은 한국에 사는 것의 충분조건이고, 한국에 사는 것은 서울에 사는 것의 필요조건이다. 한국에 살지 않으면 서울에 살 수 없다는 뜻이다.

2.6.2진리집합의 크기로 보기

\(p \Rightarrow q\)는 \(P \subset Q\)와 같다. 즉 충분조건은 작은 집합 쪽, 필요조건은 큰 집합 쪽이다. 작은 집합 안에 들면 큰 집합에 저절로 들어가니 '충분'하고, 큰 집합 밖에 있으면 작은 집합에 들 수 없으니 큰 집합은 '필요'하다. 필요충분조건은 두 집합이 같을 때이다.

그림 1에서 \(q\)를 \(-1 < x < 3\)으로 두고 \(p\)를 \(|x| < a\), 곧 \(-a < x < a\)로 두었다. \(a = 1\)이면 \(P = \{x \mid -1 < x < 1\}\)이 \(Q\) 안에 들어 있으므로 \(p\)는 \(q\)이기 위한 충분조건이다. 슬라이더로 \(a\)를 1보다 크게 하면 \(P\)의 왼쪽 끝이 \(-1\) 밖으로 나가 포함관계가 깨진다.

2.6.3예제 풀이

먼저 두 진리집합을 구한다. \(|x - 1| \le k\)는 \(1 - k \le x \le 1 + k\)이고, \(x^2 - 2x - 8 = (x + 2)(x - 4) \le 0\)은 \(-2 \le x \le 4\)이다.

\(p\)가 \(q\)의 충분조건이려면 \(P \subset Q\)이어야 한다. 따라서 \(-2 \le 1 - k\)이고 \(1 + k \le 4\)이다. 앞의 식에서 \(k \le 3\), 뒤의 식에서 \(k \le 3\)이므로 \(k\)의 최댓값은 3이다.

\(k = 3\)이면 \(P = \{x \mid -2 \le x \le 4\} = Q\)가 되어 \(p\)는 \(q\)이기 위한 필요충분조건이기도 하다. \(k\)가 3보다 조금이라도 크면 \(P\)가 \(Q\) 밖으로 나가 \(x = 4.1\) 같은 반례가 생긴다.¹ 아래 탐구 카드에서 두 조건의 진리집합을 움직이며 충분과 필요가 바뀌는 순간을 직접 찾아보자.

1. 경계가 등호를 포함하는지에 따라 답이 달라진다. \(q\)가 \(x^2 - 2x - 8 < 0\)이었다면 \(Q = \{x \mid -2 < x < 4\}\)이므로 \(1 + k < 4\)이어야 하고, \(k\)의 최댓값은 없다.