역과 대우

"비가 오면 땅이 젖는다"가 참이라고 하자. 그러면 "땅이 젖었으면 비가 왔다"도 참일까? "땅이 젖지 않았으면 비가 오지 않았다"는 어떨까? 일상에서 자주 헷갈리는 이 두 문장을 집합으로 보면 어느 쪽이 언제나 참인지 가릴 수 있을까?

\(p\): \(x \le a\), \(a\) =

2.5.1역과 대우

명제 \(p \to q\)에서 가정과 결론을 맞바꾼 \(q \to p\)를 역이라 한다. 가정과 결론을 각각 부정한 뒤 맞바꾼 \({\sim}q \to {\sim}p\)를 대우라 한다. 처음 질문에서 "땅이 젖었으면 비가 왔다"는 역이고, "땅이 젖지 않았으면 비가 오지 않았다"는 대우이다.

역은 참이 아닐 수 있다. 땅은 비가 아니어도 물을 뿌리면 젖는다. 그런데 대우는 원래 명제가 참이면 언제나 참이다. 비가 오면 반드시 땅이 젖는데 땅이 젖지 않았다면, 비가 왔을 리가 없기 때문이다.

2.5.2집합으로 보는 까닭

진리집합으로 옮겨 보자. \(p \to q\)가 참이면 \(P \subset Q\)이다. 이때 \(Q\) 밖의 원소는 \(P\) 밖에도 있을 수밖에 없다. \(P\)가 \(Q\) 안에 통째로 들어 있기 때문이다. 즉 \(Q^C \subset P^C\)이고, 이것은 대우 \({\sim}q \to {\sim}p\)가 참이라는 뜻이다.

거꾸로 대우가 참이어서 \(Q^C \subset P^C\)이면, 같은 이유로 \(P \subset Q\)이다. 따라서 명제와 대우는 참, 거짓이 언제나 같다. 반면에 역 \(q \to p\)는 \(Q \subset P\)를 묻는데, \(P \subset Q\)에서 이것이 따라 나오지는 않는다.

그림 1의 슬라이더로 확인해 보자. \(q\)는 \(x \le 3\)으로 고정하고 \(p\)를 \(x \le a\)로 두었다. \(a = 2\)이면 \(P \subset Q\)이므로 명제가 참이고, 대우도 참이며, 역은 \(x = 2.5\) 같은 반례 때문에 거짓이다. \(a\)를 4로 올리면 명제와 대우가 함께 거짓이 되고, 이번에는 역이 참이 된다.

2.5.3예제 풀이

역은 '\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다'이다. \(n = 2k - 1\)로 두면 \(n^2 = 4k^2 - 4k + 1 = 2(2k^2 - 2k) + 1\)이므로 홀수이다. 따라서 역은 참이다.

대우는 '\(n\)이 짝수이면 \(n^2\)은 짝수이다'이다. \(n = 2k\)이면 \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\)이므로 짝수이고, 대우는 참이다. 그러면 원래 명제도 참이다.

여기서 원래 명제를 직접 보이기는 어렵다. '\(n^2\)이 홀수'에서 출발해 \(n\)에 대해 말하려면 제곱근을 다루어야 하기 때문이다. 하지만 대우는 \(n\)에서 출발해 \(n^2\)을 계산하면 되므로 한 줄로 끝났다.¹ 이렇게 직접 증명하기 어려운 명제를 대우로 바꾸어 증명하는 방법은 뒤의 '대우와 귀류법'에서 다시 쓴다. 아래 탐구 카드에서 가정과 결론을 바꾸고 부정하며 참, 거짓이 어떻게 움직이는지 직접 확인해 보자.

1. 역과 대우의 관계도 있다. 역 \(q \to p\)의 대우는 \({\sim}p \to {\sim}q\)이고, 이것을 원래 명제의 '이'라 부르기도 한다. 역과 이는 참, 거짓이 같다.