대우와 귀류법
본문\(\sqrt{2}\)가 분수로 나타낼 수 없는 수라는 것을 어떻게 보일까? 분수를 하나씩 대입해 보는 방법으로는 끝이 없다. '그런 분수는 없다'처럼 없다는 것을 증명할 때는 어디서부터 출발해야 할까?
2.7.1대우를 이용한 증명
명제 '자연수 \(n\)에 대하여 \(n^2\)이 짝수이면 \(n\)은 짝수이다'를 직접 증명하려 하면 막힌다. \(n^2 = 2k\)에서 \(n\)에 대해 무엇을 말할지 마땅치 않기 때문이다. 그런데 대우 '\(n\)이 홀수이면 \(n^2\)은 홀수이다'는 쉽다. \(n = 2k - 1\)이면 \(n^2 = 2(2k^2 - 2k) + 1\)이므로 홀수이다.
명제와 대우는 참, 거짓이 같으므로 대우가 참이면 원래 명제도 참이다. 이렇게 대우를 증명해서 원래 명제를 증명하는 방법을 대우를 이용한 증명법이라 한다. 결론의 부정에서 출발하면 손에 쥔 정보가 더 구체적일 때 이 방법이 쓸모 있다.
2.7.2귀류법
처음 질문처럼 '어떤 것이 없다'를 보일 때는 다른 길을 쓴다. 일단 그런 것이 있다고 가정하고 논리를 따라가다 모순에 부딪히면, 가정이 틀렸다고 결론 내리는 것이다. 이 방법을 귀류법이라 한다.
명제의 결론을 부정했다고 가정한다. 이 가정과 이미 참으로 알려진 사실에서 모순이 생김을 보인다. 그러면 결론을 부정한 가정이 틀렸으므로 원래 결론이 참이다.
\(\sqrt{2}\)가 유리수라고 가정하자. 그러면 서로소인 두 자연수 \(p\), \(q\)로 \(\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}\)라 쓸 수 있다. 양변을 제곱하면 \(p^2 = 2q^2\)이므로 \(p^2\)은 짝수이고, 1에서 증명한 명제에 따라 \(p\)도 짝수이다.
\(p = 2m\)으로 두고 대입하면 \(4m^2 = 2q^2\), 곧 \(q^2 = 2m^2\)이다. 그러면 같은 이유로 \(q\)도 짝수이다. 그런데 \(p\)와 \(q\)가 모두 짝수이면 2라는 공약수가 있어서 서로소라는 가정과 어긋난다. 따라서 처음 가정이 틀렸고, \(\sqrt{2}\)는 유리수가 아니다.
그림 1에서 분모를 키우며 확인해 보자. \(\tfrac{17}{12}\), \(\tfrac{41}{29}\)처럼 제곱이 2에 아주 가까운 분수는 계속 나오지만, 정확히 2가 되지는 않는다.1 그림은 짐작을 줄 뿐이고, 모든 분수에 대해 확실히 말해 주는 것은 귀류법의 논증이다.
2.7.3예제 풀이
자연수 \(a\), \(b\)에 대하여 '\(ab\)가 홀수이면 \(a\)와 \(b\)는 모두 홀수이다'를 대우를 이용하여 증명하여라.
결론 '\(a\)와 \(b\)는 모두 홀수이다'의 부정은 '\(a\)와 \(b\) 가운데 적어도 하나는 짝수이다'이다. 따라서 대우는 '\(a\)와 \(b\) 가운데 적어도 하나가 짝수이면 \(ab\)는 짝수이다'이다.
\(a\)가 짝수라 하자. \(a = 2k\)이면 \(ab = 2(kb)\)이므로 \(ab\)는 짝수이다. \(b\)가 짝수인 경우도 같다. 그러면 대우가 참이므로 원래 명제도 참이다.
여기서 '모두'의 부정이 '적어도 하나는 아니다'가 된다는 데 주의하자. '모두 짝수'로 잘못 부정하면 \(a = 2\), \(b = 3\) 같은 경우가 빠져 증명이 불완전해진다. 아래 탐구 카드에서 귀류법의 각 단계를 직접 따라가 보자.
- \(17^2 = 289\), \(2 \times 12^2 = 288\)이므로 \(\left(\tfrac{17}{12}\right)^2\)은 2보다 \(\tfrac{1}{144}\) 크다. \(41^2 = 1681\), \(2 \times 29^2 = 1682\)이므로 \(\left(\tfrac{41}{29}\right)^2\)은 2보다 \(\tfrac{1}{841}\) 작다. 오차는 줄지만 0이 되지는 않는다.
결론의 부정에서 출발하는 쪽이 쉬우면 대우를 증명하고, '없다'를 보일 때는 있다고 가정해 모순을 끌어내는 귀류법을 쓴다. 그래서 처음 질문의 \(\sqrt{2}\)는 '분수 \(\tfrac{p}{q}\)로 쓸 수 있다'고 가정하면 \(p\), \(q\)가 모두 짝수가 되어 서로소라는 가정과 부딪치므로, 분수로 나타낼 수 없다.