쌍곡선
본문두 기지국이 같은 순간에 신호를 보냈는데, 배가 한 기지국의 신호를 다른 기지국보다 0.001초 늦게 받았다. 신호의 속력을 알면 두 기지국까지의 거리의 차가 정해진다. 그런데 거리의 차가 같은 곳은 한 점이 아니라 하나의 곡선을 이룬다. 그 곡선은 어떤 모양일까?
1.3.1쌍곡선의 정의와 방정식
평면 위의 서로 다른 두 점 F, F′에서의 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라 한다. F, F′을 초점이라 한다.
두 초점을 \(F(c, 0)\), \(F'(-c, 0)\)으로, 거리의 차를 \(2a\) (\(c > a > 0\))로 놓으면 \(\left|\sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2}\right| = 2a\)이다. 타원과 같은 방법으로 정리하면 \((c^2 - a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2 - a^2)\)이다. 이번에는 \(c > a\)이므로 \(b^2 = c^2 - a^2\)으로 놓는다.
\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\qquad c^2 = a^2 + b^2\] 초점은 \((\pm c, 0)\), 꼭짓점은 \((\pm a, 0)\), 주축의 길이는 \(2a\)이다.
쌍곡선은 서로 떨어진 두 가지로 이루어진다. 오른쪽 가지 위의 점은 F에 더 가깝고, 왼쪽 가지 위의 점은 F′에 더 가깝다. 그림 1에서 점 P를 움직여 보면 두 거리가 모두 커져도 차는 4로 일정하다.
1.3.2점근선
방정식을 \(y\)에 대해 풀면 \(y = \pm\dfrac{b}{a}\sqrt{x^2 - a^2}\)이다. \(x\)가 한없이 커지면 \(\sqrt{x^2 - a^2}\)은 \(|x|\)에 가까워지므로, 쌍곡선은 두 직선 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\)에 한없이 가까워진다. 이 직선들을 점근선이라 한다. 점근선은 방정식의 우변 1을 0으로 바꾼 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 0\)으로 기억할 수 있다.1
1.3.3예제 풀이
쌍곡선 \(9x^2 - 16y^2 = 144\)의 꼭짓점, 초점, 점근선의 방정식을 구하여라.
양변을 144로 나누면 \(\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1\)이다. \(a = 4\), \(b = 3\)이므로 꼭짓점은 \((\pm 4, 0)\)이다. \(c = \sqrt{16 + 9} = 5\)이므로 초점은 \((\pm 5, 0)\)이다.
점근선은 \(y = \pm\dfrac{3}{4}x\)이다. 확인으로 \(x = 40\)을 넣으면 쌍곡선 위의 점은 \(y = \dfrac{3}{4}\sqrt{1600 - 16} \approx 29.85\)이고, 점근선 위의 점은 \(y = 30\)이다. 멀리 갈수록 차이가 0에 가까워진다. 처음 질문의 배는 두 기지국을 초점으로 하는 쌍곡선 위에 있고, 기지국 한 쌍을 더 쓰면 두 쌍곡선의 교점으로 위치를 정할 수 있다.
아래 탐구 카드에서 거리의 차가 일정한 점들의 모양과 점근선을 직접 확인해 보자.
- \(a = b\)이면 점근선이 \(y = \pm x\)로 서로 수직이 되는데, 이런 쌍곡선을 직각쌍곡선이라 한다. 반비례 그래프 \(xy = k\)는 직각쌍곡선을 45° 돌린 것이다.
쌍곡선은 두 초점에서의 거리의 차가 일정한 점들의 집합이며, 방정식은 \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), 초점은 \((\pm c, 0)\), \(c^2 = a^2 + b^2\)이다. 멀리 가면 점근선 \(y = \pm\frac{b}{a}x\)에 한없이 가까워진다. 그래서 처음 질문의 배가 있을 수 있는 곳은 두 기지국을 초점으로 하는 쌍곡선이다.