공간좌표와 구의 방정식

운동장 바닥에 기지국 세 개를 두고, 기지국 \(O(0, 0, 0)\), \(A(6, 0, 0)\), \(B(0, 8, 0)\)의 좌표를 m 단위로 정했다. 하늘에 뜬 드론은 각 기지국까지의 거리만 잴 수 있는데, 세 거리가 모두 13 m였다. 거리 하나만 알면 드론은 기지국을 중심으로 하는 구 위의 어딘가에 있다. 거리 두 개, 세 개를 알면 드론이 있을 수 있는 곳은 어떻게 좁혀질까? 드론의 좌표를 정확히 구할 수 있을까?

2.5.1공간의 거리와 구

공간의 점은 서로 수직인 세 축으로 좌표 \((x, y, z)\)를 정한다. 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 두 번 써서 구한다. 먼저 바닥 평면에서 두 점의 그림자 사이 거리를 구하고, 그 거리와 높이 차를 두 변으로 하는 직각삼각형의 빗변을 구하면 된다. 그래서 \(P(x_1, y_1, z_1)\)과 \(Q(x_2, y_2, z_2)\) 사이의 거리는 세 좌표 차의 제곱의 합의 제곱근이다. 한 점에서 거리가 일정한 점들의 자취가 구이므로, 이 거리 공식이 곧 구의 방정식이 된다.

두 구의 방정식을 빼면 \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) 항이 지워져 일차식, 곧 평면의 방정식이 남는다. 두 구가 만나는 점들은 모두 이 평면 위에 있으므로, 두 구의 교선은 이 평면과 한 구가 만나는 원이다. 그래서 거리를 하나 더 알 때마다 일차방정식이 하나씩 생기고, 세 구의 방정식에서 두 번 빼면 일차방정식 두 개와 구의 방정식 하나가 남는다.¹

2.5.2두 점 가운데 하나를 고르다

일차방정식 두 개는 공간의 직선 하나를 나타내고, 그 직선이 구와 만나는 점은 많아야 두 개이다. 그래서 거리 세 개로는 위치가 두 점까지 좁혀진다. 세 기지국이 같은 평면 위에 있으면 두 점은 그 평면에 대해 대칭이어서, 하나는 땅 위, 하나는 땅속에 있다. GPS도 같은 방법으로 위성까지의 거리를 재는데, 두 점 가운데 하나는 우주 공간이나 땅속 깊이 있어 버린다. 다만 수신기의 시계 오차까지 풀어야 하므로 실제로는 위성 네 개가 필요하다.

2.5.3예제 풀이

세 구는 \(x^2 + y^2 + z^2 = 169\), \((x - 6)^2 + y^2 + z^2 = 169\), \(x^2 + (y - 8)^2 + z^2 = 169\)이다. 둘째 식에서 첫째 식을 빼면 \(-12x + 36 = 0\)으로 \(x = 3\), 셋째 식에서 첫째 식을 빼면 \(-16y + 64 = 0\)으로 \(y = 4\)이다. 첫째 식에 넣으면 \(z^2 = 169 - 9 - 16 = 144\)이므로 \(z = \pm12\)이다. 드론은 땅 위에 있으므로 \((3, 4, 12)\)이다.

\(O(0, 0, 0)\)과 \((3, 4, 12)\)를 \(1 : 2\)로 내분하는 점은 \(\left(\dfrac{1\times3 + 2\times0}{3}, \dfrac{1\times4}{3}, \dfrac{1\times12}{3}\right) = (1, \tfrac43, 4)\)이다. 이 점과 \(O\) 사이의 거리는 \(\sqrt{1 + 16/9 + 16} = 13/3\)으로, 13 m의 3분의 1이 맞다. 즉 공간의 거리 공식은 구의 방정식이 되고, 구의 방정식끼리 빼면 일차방정식이 남아, 세 거리만으로 공간 속 위치를 두 점까지 좁혀 구할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 거리만 알려 주는 탐지기로 공간 속 보물을 찾고, 선분 밖에서 \(m : n\)으로 나누는 외분점과 GPS의 원리를 알아보자.

1. 세 점까지의 거리로 위치를 정하는 방법을 삼변 측량이라 한다. 지진이 났을 때도 세 관측소에서 잰 진원 거리로 진앙을 정하는데, 땅 위에서는 원 세 개, 땅속 진원까지 따지면 구 세 개가 만나는 점을 찾는 셈이다.