위치벡터

벡터는 화살표로 그려서 생각할 수도 있고, 좌표 같은 수의 묶음으로 계산할 수도 있습니다. 기준점 O를 하나 정하면 모든 점이 O에서 출발하는 벡터 하나와 짝지어지고, 그 벡터는 다시 좌표 성분으로 쓸 수 있습니다. 이 절에서는 그림으로 하던 벡터의 연산을 좌표의 계산으로 바꾸는 방법을 평면과 공간에서 확인합니다.

먼저 알면 좋은 것 벡터의 덧셈과 실수배 내분점과 외분점의 좌표 공간좌표

본문

위치벡터

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벡터를 화살표로만 다루면 그림이 복잡해질수록 계산이 어렵다. 그런데 화살표의 시점을 원점에 고정하면 종점 하나로 벡터가 정해지고, 종점은 좌표로 나타낼 수 있다. 그렇다면 벡터의 덧셈과 실수배를 좌표의 계산으로 바꿀 수 있을까? 선분을 나누는 점도 벡터로 깔끔하게 나타낼 수 있을까?

\(m\) (\(m + n = 4\))

그림 1. 원점에서 A, B로 향하는 위치벡터 \(\vec a\)(파랑), \(\vec b\)(주황). 선분 AB를 \(m : n\)으로 내분하는 점 P의 위치벡터(빨강)는 \(\dfrac{n\vec a + m\vec b}{m + n}\)이다.

먼저 알아야 할 것벡터의 덧셈과 실수배(벡터의 연산), 내분점과 외분점의 좌표(공통수학2), 공간좌표(공간좌표).

3.2.1위치벡터

한 점 O를 기준으로 정하면, 점 A의 위치는 벡터 \(\overrightarrow{OA}\) 하나로 정해진다. 이를 점 A의 위치벡터라 한다. 위치벡터를 쓰면 두 점을 잇는 벡터는 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec b - \vec a\)로, 종점의 위치벡터에서 시점의 위치벡터를 뺀 것이다.

정리 3.2.1 내분점과 외분점의 위치벡터

두 점 A, B의 위치벡터가 \(\vec a\), \(\vec b\)일 때, 선분 AB를 \(m : n\)으로 내분하는 점과 외분하는 점의 위치벡터는 \[\frac{m\vec b + n\vec a}{m + n},\qquad \frac{m\vec b - n\vec a}{m - n}\ (m \ne n)\]

내분점 P는 A에서 B 쪽으로 \(\overrightarrow{AB}\)의 \(\dfrac{m}{m+n}\)만큼 간 점이므로 \(\vec p = \vec a + \dfrac{m}{m+n}(\vec b - \vec a)\)이고, 정리하면 위 식이 된다. 그림 1에서 \(m\)을 바꾸어 보면 P가 A에서 B까지 미끄러진다. 중점은 \(\dfrac{\vec a + \vec b}{2}\), 삼각형의 무게중심은 \(\dfrac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}\)이다.

3.2.2벡터의 성분

좌표평면에서 \(x\)축, \(y\)축 방향의 단위벡터를 \(\vec e_1 = (1, 0)\), \(\vec e_2 = (0, 1)\)이라 하자. 위치벡터의 종점이 \((a_1, a_2)\)이면 \(\vec a = a_1\vec e_1 + a_2\vec e_2\)이고, 이를 간단히 \(\vec a = (a_1, a_2)\)로 쓴다. \(a_1\), \(a_2\)를 벡터의 성분이라 한다. 좌표공간에서는 성분이 세 개이다.

정리 3.2.2 성분으로 계산하기

\(\vec a = (a_1, a_2)\), \(\vec b = (b_1, b_2)\)일 때 \(\vec a \pm \vec b = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2)\), \(k\vec a = (ka_1, ka_2)\), \(|\vec a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\). 공간에서도 성분을 하나 더해 같은 방법으로 계산한다.

그림 2. 벡터를 \(x\)축 방향과 \(y\)축 방향의 두 벡터로 나누면, 화살표가 두 수의 순서쌍으로 바뀐다.

3.2.3예제 풀이

예제 3.2.3

두 점 \(A(1, 1)\), \(B(7, 5)\)에 대하여 \(\overrightarrow{AB}\)의 성분과 크기를 구하고, 선분 AB를 \(1 : 3\)으로 내분하는 점 P와 외분하는 점 Q의 좌표를 구하여라.

\(\overrightarrow{AB} = (7 - 1, 5 - 1) = (6, 4)\)이고 크기는 \(\sqrt{36 + 16} = 2\sqrt{13}\)이다.

내분점은 \(\vec p = \dfrac{1 \cdot (7, 5) + 3 \cdot (1, 1)}{4} = \dfrac{(10, 8)}{4} = \left(\dfrac{5}{2}, 2\right)\)이다. 외분점은 \(\vec q = \dfrac{1 \cdot (7, 5) - 3 \cdot (1, 1)}{1 - 3} = \dfrac{(4, 2)}{-2} = (-2, -1)\)이다. Q는 A의 바깥쪽, B와 반대편에 있다. 확인하면 \(\overrightarrow{QA} = (3, 2)\), \(\overrightarrow{QB} = (9, 6)\)으로 길이의 비가 \(1 : 3\)이다.¹

아래 탐구 카드에서 위치벡터로 선분을 나누는 점을 나타내고, 평면과 공간의 벡터를 성분으로 바꾸어 보자.

그림 1의 슬라이더로 \(m = 1\)로 맞추면 \(m : n = 1 : 3\)이므로 이 예제의 내분점 \(\left(\dfrac{5}{2}, 2\right)\)이 표시된다.

마무리

기준점에서 그은 위치벡터를 쓰면 \(\overrightarrow{AB} = \vec b - \vec a\)이고, 선분을 \(m : n\)으로 내분하는 점은 \(\dfrac{m\vec b + n\vec a}{m + n}\)이다. 단위벡터로 나누면 벡터는 성분의 순서쌍이 되어 덧셈과 실수배를 성분끼리 계산한다. 그래서 처음 질문의 화살표는 평면에서는 수 두 개, 공간에서는 수 세 개로 바뀌어 계산할 수 있다.

탐구 1

두 점의 위치벡터로 선분을 나누는 점을 어떻게 나타낼까?

위치벡터 · 내분점, 외분점

\(m\) = 2

\(n\) = 1

—

\(\overrightarrow{OA} = \vec{a}\): —
\(\overrightarrow{OB} = \vec{b}\): —
\(\overrightarrow{OP} = \vec{p}\): —

점 A와 B를 끌고 \(m, n\)을 바꾸어 보자. 괄호 안 수는 점의 좌표이자 위치벡터의 성분이다.

질문두 점 A, B를 잇는 선분을 2 : 1로 나누는 점 P는 좌표 공식으로 구할 수 있다. 같은 일을 벡터로 하면 평면과 공간에서 한 번에 해결할 수 있을까?
복원공통수학에서 \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)를 \(m : n\)으로 내분하는 점의 좌표가 \((\frac{mx_2 + nx_1}{m + n}, \frac{my_2 + ny_1}{m + n})\)임을 배웠다. 또 \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\)였다.
설명기준점 O를 정하면 점 A에 벡터 \(\overrightarrow{OA}\)가 하나씩 대응하는데, 이 \(\overrightarrow{OA}\)를 점 A의 위치벡터라고 하고 \(\vec{a}\)로 쓴다. 두 점의 위치벡터를 알면 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \vec{b} - \vec{a}\)이다. 그래서 점 P가 선분 AB를 \(m : n(m \gt 0, n \gt 0)\)으로 내분하면 \(\overrightarrow{AP} = \frac{m}{m + n} \overrightarrow{AB}\)이므로 \(\vec{p} = \vec{a} + \frac{m}{m + n}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m + n}\)이고, 외분\((m \ne n)\)이면 \(\vec{p} = \frac{m\vec{b} - n\vec{a}}{m - n}\)이다. 또 중점은 \(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\), 삼각형 ABC의 무게중심은 \(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\)이다.
연결위치벡터를 성분으로 쓰면 이 식이 그대로 내분점의 좌표 공식이 되고, 식에 차원이 들어 있지 않으므로 좌표공간에서도 같은 식이 성립한다. 또 \(\vec{p} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})\)에서 \(t\)를 모든 실수로 넓히면 직선 AB 전체가 되는데, 이것이 직선의 방정식으로 이어진다.
적용\(m = n\)으로 두고 P가 중점인지 확인해 보자. 그리고 외분으로 바꾸어 \(m \gt n\)일 때와 \(m \lt n\)일 때 P가 각각 어느 쪽 바깥에 생기는지 보고, \(m = n\)인 외분은 왜 그려지지 않는지 생각해 보자.
판단위치벡터는 기준점 O에 따라 달라지지만, \(\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}\)는 O를 어디에 두어도 같다. 또 외분점 식에서 \(m\vec{b} - n\vec{a}\)의 순서를 바꾸어 \(m\vec{a} - n\vec{b}\)로 쓰는 실수가 많은데, 비의 앞쪽 \(m\)은 언제나 B 쪽 벡터 \(\vec{b}\)에 곱한다.

확인조건이 달라지면

두 점 A, B의 위치벡터가 \(\vec{a}, \vec{b}\)일 때, 선분 AB를 1 : 3으로 외분하는 점의 위치벡터는?

탐구 2

화살표를 수 두 개로 바꿀 수 있을까?

위치벡터 · 평면벡터의 성분

—

\(\overrightarrow{AB}\)의 \(x\)성분: —
\(\overrightarrow{AB}\)의 \(y\)성분: —
\(|\overrightarrow{AB}|\): —

점 A와 B를 끌어 보자. 점선 화살표는 \(\overrightarrow{AB}\)를 시점이 원점 O가 되도록 옮긴 것이고, 그 종점의 좌표가 곧 \(\overrightarrow{AB}\)의 성분이다.

질문좌표평면 위의 화살표 \(\overrightarrow{AB}\)를 그리지 않고 수만으로 전하려면 무엇을 알려 주면 될까?
복원벡터는 평행이동해도 같은 벡터이다. 또 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)이고, 점 B의 위치벡터 \(\overrightarrow{OB}\)는 점 B의 좌표로 정해진다.
설명\(\vec{a}\)를 시점이 원점이 되도록 옮겼을 때 종점이 \((a_1, a_2)\)이면 \(\vec{a} = (a_1, a_2)\)로 쓰고, \(a_1, a_2\)를 \(\vec{a}\)의 \(x\)성분, \(y\)성분이라고 한다. 단위벡터 \(\vec{e}_1 = (1, 0), \vec{e}_2 = (0, 1)\)을 쓰면 \(\vec{a} = a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2\)이고, \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)\)이면 \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)이며, 크기는 피타고라스 정리로 \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)이다. 두 벡터가 같을 필요충분조건은 대응하는 성분이 각각 같은 것이고, 연산도 \((a_1, a_2) \pm (b_1, b_2) = (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2), k(a_1, a_2) = (ka_1, ka_2)\)처럼 성분끼리 한다.
연결그림(화살표)으로 보면 방향과 크기의 관계가 잘 보이고, 성분(수)으로 보면 계산이 쉬워진다. 즉 벡터를 다루는 이 두 방법은 같은 대상을 다르게 표현한 것이며, 공간에서는 성분이 세 개로 늘어날 뿐 규칙은 같다.
적용A와 B를 함께 같은 방향으로 한 칸씩 옮기며 성분이 바뀌는지 보자. 그리고 B를 A의 바로 오른쪽 3칸, 위쪽 4칸에 두면 \(|\overrightarrow{AB}|\)가 얼마인지 구하고, 성분이 음수가 되는 경우도 만들어 보자.
판단벡터의 성분과 점의 좌표를 같은 것으로 여기면 안 된다. \(\overrightarrow{AB}\)의 성분은 B의 좌표가 아니라 종점 좌표에서 시점 좌표를 뺀 값이고, 시점이 원점일 때, 곧 위치벡터일 때만 성분과 종점의 좌표가 같다.

확인조건이 달라지면

\(\vec{a} = (2, -1), \vec{b} = (-1, 3)\)일 때 \(|2\vec{a} - \vec{b}|\)의 값은?

탐구 3

공간의 화살표는 수 몇 개로 정해질까?

위치벡터 · 공간벡터의 성분과 크기

\(a_1\) = 3

\(a_2\) = 2

\(a_3\) = 2

\(\vec{a}\): —
바닥 대각선 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\): —
\(|\vec{a}|\): —

세 성분을 바꾸고, 그림을 끌어 여러 방향에서 보자. 초록 점선은 바닥(\(xy\)평면)의 대각선이다.

질문방 한쪽 구석에서 맞은편 천장 구석까지 줄을 팽팽하게 걸면 줄의 방향과 길이는 무엇으로 정해질까?
복원평면벡터는 성분 두 개로 정해지고 크기는 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)이다. 그리고 좌표공간의 점은 \((x, y, z)\)로 나타내고, 두 점 사이의 거리는 \(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}\)이다.
설명공간벡터 \(\vec{a}\)를 시점이 원점이 되도록 옮겼을 때 종점이 \((a_1, a_2, a_3)\)이면 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\)로 쓰고, 세 좌표축 방향의 단위벡터 \(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3\)을 쓰면 \(\vec{a} = a_1\vec{e}_1 + a_2\vec{e}_2 + a_3\vec{e}_3\)이다. 크기는 피타고라스 정리를 두 번 써서 구하는데, 바닥의 대각선 길이가 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)이고 이것과 높이 \(|a_3|\)가 직각을 이루므로 \(|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)이다. 덧셈, 뺄셈, 실수배와 \(\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)\)도 평면과 똑같이 성분끼리 계산한다.
연결이 성분 표현 덕분에 공간에서도 내적, 직선과 평면의 방정식을 좌표 계산으로 다룰 수 있다. 그리고 점의 좌표와 위치벡터의 성분이 같다는 사실은 평면과 공간 모두에서 쓰인다.
적용\((3, 2, 2)\)의 크기를 바닥 대각선과 높이로 나누어 계산해 보자. 그리고 성분 하나를 0으로 만들면 화살표가 어디에 놓이는지 보고, \((1, 2, 2)\)처럼 크기가 정수가 되는 성분 조합을 하나 더 찾아보자.
판단그림은 공간을 평면에 옮긴 것이라 화살표의 화면 길이는 실제 크기와 다르고, 같은 벡터도 돌리면 화면에서 길어지거나 짧아진다. 그래서 크기는 반드시 성분으로 계산해야 한다.

확인조건이 달라지면

두 점 \(A(1, 2, -1), B(3, -1, 5)\)에 대하여 \(|\overrightarrow{AB}|\)의 값은?

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