벡터의 연산

본문

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강을 건너는 배가 물에 대해 북쪽으로 4 km/h로 가는데, 강물은 동쪽으로 3 km/h로 흐른다. 배는 실제로 어느 쪽으로 얼마나 빠르게 갈까? '4 + 3 = 7'은 답이 아니다. 속도나 힘처럼 크기와 방향을 함께 가진 양은 어떻게 더해야 할까?

\(\vec b\)의 \(x\)성분 \(\vec b\)의 \(y\)성분

그림 1. \(\vec a\)(파랑)와 \(\vec b\)(주황)로 평행사변형을 만들면 대각선(빨강)이 \(\vec a + \vec b\)이다. \(\vec a\)의 끝에 \(\vec b\)를 이어 그려도 같은 화살표가 된다.

먼저 알아야 할 것피타고라스 정리, 평행사변형의 성질(중학교), 좌표평면(공통수학2).

3.1.1벡터

길이, 넓이, 온도처럼 크기만으로 정해지는 양을 스칼라라 하고, 속도, 힘, 이동처럼 크기와 방향을 함께 가진 양을 벡터라 한다. 벡터는 화살표로 나타내며, 시점 A에서 종점 B로 향하는 벡터를 \(\overrightarrow{AB}\), 한 문자로는 \(\vec a\)로 쓴다. 화살표의 길이가 벡터의 크기 \(|\vec a|\)이다.

크기와 방향이 같으면 위치가 달라도 같은 벡터로 본다. 크기가 1인 벡터를 단위벡터, 크기가 0인 벡터를 영벡터 \(\vec 0\)이라 한다. \(\vec a\)와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터를 \(-\vec a\)로 쓴다.

3.1.2벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배

A에서 B로 이동한 뒤 B에서 C로 이동하면, 결국 A에서 C로 이동한 것과 같다. 그래서 \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)로 정한다. 같은 시점에서 그린 두 벡터는 평행사변형의 대각선으로 더할 수 있다.

정의 3.1.1 벡터의 연산

덧셈 \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\), 뺄셈 \(\vec a - \vec b = \vec a + (-\vec b)\). 실수 \(k\)에 대하여 \(k\vec a\)는 크기가 \(|k||\vec a|\)이고, \(k > 0\)이면 \(\vec a\)와 같은 방향, \(k < 0\)이면 반대 방향인 벡터이다.

벡터의 덧셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립하고, 실수배는 분배법칙이 성립한다. 두 벡터가 같은 직선 위에 놓이면, 곧 \(\vec b = k\vec a\)이면 두 벡터는 평행하다. 그림 1에서 \(\vec b\)를 바꾸어 보며 합이 평행사변형의 대각선이 되는지 확인해 보자.¹

그림 2. \(2\vec a\)는 \(\vec a\)와 방향이 같고 크기가 두 배, \(-\vec a\)는 크기가 같고 방향이 반대이다.

3.1.3예제 풀이

예제 3.1.2

배가 물에 대해 북쪽으로 4 km/h, 강물이 동쪽으로 3 km/h로 흐른다. 배의 실제 속도의 크기와 방향을 구하여라. 또 배가 정확히 북쪽으로 가려면 물에 대해 어느 쪽으로 저어야 하는가?

두 속도는 서로 수직이므로 합의 크기는 \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) km/h이다. 방향은 북쪽에서 동쪽으로 \(\theta\)만큼 기운 쪽인데, \(\tan\theta = \dfrac{3}{4}\)이므로 \(\theta \approx 37°\)이다.

정확히 북쪽으로 가려면 강물의 속도 \(\vec w\)(동쪽 3)를 상쇄해야 한다. 배의 속도를 \(\vec v\)라 하면 \(\vec v + \vec w\)가 북쪽을 향해야 하므로, \(\vec v\)는 서쪽 성분 3을 가져야 한다. \(|\vec v| = 4\)이므로 북쪽 성분은 \(\sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65\)이다. 곧 북쪽에서 서쪽으로 약 \(49°\) 기울여 저으면 실제로는 북쪽으로 약 2.65 km/h로 간다.

아래 탐구 카드에서 벡터가 왜 필요한지, 두 이동을 합치는 방법, 음수를 곱한 벡터를 직접 확인해 보자.

세 개 이상의 벡터도 꼬리에 머리를 차례로 이어 그리면 더할 수 있다. 처음 시점에서 마지막 종점까지의 화살표가 합이다. 이어 그린 화살표가 닫힌 다각형이 되면 합은 영벡터이다.

마무리

벡터는 크기와 방향을 함께 가진 양으로, 덧셈은 화살표를 이어 그리거나 평행사변형의 대각선으로 하고, 실수배는 크기를 늘이고 음수이면 방향을 뒤집는다. 그래서 처음 질문의 배는 북쪽 4와 동쪽 3을 벡터로 더한, 북쪽에서 동쪽으로 약 37° 기운 방향으로 5 km/h로 나아간다.

읽기 1

크기만으로는 왜 부족할까?

읽기 · 벡터의 뜻과 용어

기온 25 ℃, 질량 3 kg은 수 하나로 충분하다. 그런데 바람이 초속 5 m로 분다는 말만으로는 연을 어느 쪽으로 날려야 할지 알 수 없다. 방향까지 알려 주는 양은 어떻게 나타낼까?

1스칼라와 벡터

길이, 넓이, 질량, 온도처럼 크기만으로 정해지는 양을 스칼라라 하고, 변위, 속도, 힘처럼 크기와 방향을 함께 가진 양을 벡터라고 한다. 벡터는 방향이 있는 선분, 곧 화살표로 나타내는데, 점 A에서 점 B로 향하는 화살표가 나타내는 벡터를 \(\overrightarrow{AB}\)로 쓰고 A를 시점, B를 종점이라고 한다. 한 문자로 \(\vec{a}, \vec{b}\)처럼 쓰기도 한다.

벡터의 크기는 화살표의 길이이고 \(|\overrightarrow{AB}|, |\vec{a}|\)로 쓰며, 언제나 0 이상의 실수이다. 크기가 1인 벡터를 단위벡터, 시점과 종점이 같아 크기가 0인 벡터를 영벡터 \(\vec{0}\)이라 하고, 영벡터의 방향은 생각하지 않는다.

2같은 벡터, 크기는 같고 방향이 반대인 벡터

왼쪽 세 화살표는 놓인 곳만 다를 뿐 크기와 방향이 같으므로 모두 같은 벡터이다. 오른쪽은 \(\vec{a}\)와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터 \(-\vec{a}\)이다.

두 벡터의 크기와 방향이 모두 같으면 시점이 달라도 서로 같다고 하고 \(\vec{a} = \vec{b}\)로 쓴다. 그래서 벡터는 평행이동해서 원하는 곳에 옮겨 놓을 수 있고, 이 사실이 덧셈과 뺄셈의 출발점이다. 그리고 \(\vec{a}\)와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터를 \(-\vec{a}\)로 쓰므로, 예를 들어 \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\)이다.

3평면벡터와 공간벡터

평면 위에서 생각하는 벡터를 평면벡터, 공간에서 생각하는 벡터를 공간벡터라고 하는데, 뜻과 연산 규칙은 같다. 그래서 이 단원에서 배우는 덧셈, 실수배, 내적은 평면과 공간에서 똑같이 성립한다.

4연산 법칙 한눈에 보기

법칙	식
교환법칙	\(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)
결합법칙	\((\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})\)
영벡터, 역벡터	\(\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}, \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}\)
실수배	\(k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}, (k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}, k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}\)

판단크기가 같다고 같은 벡터는 아니다. 정삼각형의 세 변 \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}\)는 크기가 모두 같지만 방향이 달라서 서로 다른 벡터이다. 거꾸로 위치가 달라도 크기와 방향이 같으면 같은 벡터이다.

확인조건이 달라지면

정육각형 ABCDEF(꼭짓점은 이 순서로 놓임)에서 \(\overrightarrow{AB}\)와 같은 벡터는?

탐구 2

두 이동을 하나로 합치면 어떤 화살표가 될까?

벡터의 연산 · 덧셈, 뺄셈

\(|\vec{a}|\): —
\(|\vec{b}|\): —
|a + b|: —
\(|\vec{a}| + |\vec{b}|\): —

화살표 끝의 큰 점을 끌어 보자. 점은 격자점에 붙고, 한 칸의 길이는 1이다.

질문동쪽으로 4칸, 북쪽으로 1칸 간 다음 다시 동쪽으로 1칸, 북쪽으로 3칸 갔다. 처음부터 한 번에 갔다면 어떤 화살표 하나로 나타낼 수 있을까?
복원벡터는 크기와 방향만으로 정해지므로 평행이동해도 같은 벡터이다. 그리고 \(\overrightarrow{AB}\)는 A에서 B로 가는 이동이고, \(-\vec{a}\)는 \(\vec{a}\)와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터이다.
설명\(\vec{a}\)의 종점에 \(\vec{b}\)의 시점을 이어 붙였을 때 \(\vec{a}\)의 시점에서 \(\vec{b}\)의 종점으로 가는 벡터를 \(\vec{a} + \vec{b}\)라 하며, 식으로는 \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)이다(삼각형법). 두 벡터의 시점을 맞추면 두 벡터가 만드는 평행사변형의 대각선이 \(\vec{a} + \vec{b}\)이고(평행사변형법), 이 그림에서 \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}\)(교환법칙)가 바로 보인다. 뺄셈은 \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)로 정하므로, 시점을 맞춘 두 화살표에서 \(\vec{a} - \vec{b}\)는 \(\vec{b}\)의 종점에서 \(\vec{a}\)의 종점으로 가는 벡터이고, 그래서 \(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\)이다.
연결물리에서 두 힘의 합력, 이동한 변위의 합이 이 덧셈이다. 그리고 뺄셈 \(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}\)는 다음 절에서 위치벡터로 두 점 사이의 벡터를 구할 때 그대로 쓰인다.
적용\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)를 같은 방향으로 놓아 \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\)가 되게 하고, 이때 말고 두 값이 같아지는 경우가 있는지 보자. 그리고 평행사변형 보기에서 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)를 수직으로 놓고, 뺄셈 보기로 바꾸어 \(|\vec{a} + \vec{b}|\)와 \(|\vec{a} - \vec{b}|\)를 비교해 보자.
판단벡터의 덧셈은 크기의 덧셈이 아니다. 삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변보다 크므로 \(|\vec{a} + \vec{b}| \le |\vec{a}| + |\vec{b}|\)이고, 등호는 두 벡터의 방향이 같을 때(또는 하나가 \(\vec{0}\)일 때)만 성립한다. 또 \(\vec{a} - \vec{b}\)의 방향을 거꾸로 그리는 실수가 많은데, \(\vec{a} - \vec{b}\)는 \(\vec{b}\)에 더하면 \(\vec{a}\)가 되는 벡터이므로 \(\vec{b}\)의 종점에서 출발한다.

확인조건이 달라지면

평행사변형 ABCD에서 \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD}\)와 같은 벡터는?

탐구 3

벡터에 음수를 곱하면 무엇이 바뀔까?

벡터의 연산 · 실수배, 단위벡터, 평행

실수 \(k\) = 2

\(|\vec{a}|\): —
\(|k\vec{a}|\): —
\(|k| \times |\vec{a}|\): —
\(k\vec{a}\)의 방향: —

\(\vec{a}\)의 끝점을 끌고, \(k\)를 움직여 보자. 점선은 \(\vec{a}\)와 평행한 직선이고, 가는 검은 화살표는 \(\vec{a}\) 방향의 단위벡터이다.

질문\(\vec{a}\)를 두 번 더한 \(\vec{a} + \vec{a}\)는 어떤 벡터일까? 그렇다면 \(-\vec{a}\)를 세 번 더한 것, 또는 \(\vec{a}\)의 절반은 어떻게 나타낼까?
복원벡터는 크기와 방향을 가진다. 그리고 \(-\vec{a}\)는 \(\vec{a}\)와 크기가 같고 방향이 반대인 벡터이며, 크기 \(|\vec{a}|\)는 0 이상의 실수이다.
설명실수 \(k\)와 벡터 \(\vec{a}\)에 대하여 \(k\vec{a}\)는 \(k \gt 0\)이면 \(\vec{a}\)와 같은 방향이고 크기가 \(k|\vec{a}|\)인 벡터, \(k \lt 0\)이면 \(\vec{a}\)와 반대 방향이고 크기가 \(|k||\vec{a}|\)인 벡터, \(k = 0\)이면 \(\vec{0}\)으로 정하며, 어느 경우든 \(|k\vec{a}| = |k||\vec{a}|\)이다. \(\vec{a} \ne \vec{0}\)이면 \(\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)는 \(\vec{a}\)와 방향이 같은 단위벡터이다. 또 \(\vec{0}\)이 아닌 두 벡터 \(\vec{a}, \vec{b}\)가 평행할 필요충분조건은 \(\vec{b} = k\vec{a}(k \ne 0)\)를 만족하는 실수 \(k\)가 있는 것이다.
연결실수배와 덧셈을 섞은 \(k\vec{a} + l\vec{b}\)는 다음 절의 위치벡터와 내분점, 그리고 직선의 방정식 \(\vec{p} = \vec{a} + t\vec{u}\)의 바탕이 된다. 점 P가 직선 위를 움직이는 모습이 바로 실수 \(t\)를 바꾸는 실수배이다.
적용\(k\)를 \(-2\)에서 2까지 움직이면 \(k\vec{a}\)의 끝이 어떤 선 위를 지나가는지, \(k = 0\)일 때와 \(k = -1\)일 때는 어떤지 확인해 보자. 그리고 \(\vec{a}\)를 오른쪽으로 2칸인 벡터로 두고, \(k\vec{a}\)가 단위벡터와 겹치는 \(k\)를 찾아보자.
판단\(-2\vec{a}\)의 크기를 \(-2|\vec{a}|\)로 쓰면 안 된다. 크기는 음수가 될 수 없으므로 \(|-2\vec{a}| = 2|\vec{a}|\)이고, 음수를 곱하면 크기가 줄어드는 것이 아니라 방향이 뒤집힌다. 또 평행에는 같은 방향과 반대 방향이 모두 들어간다.

확인조건이 달라지면

\(|\vec{a}| = 4\)일 때, \(\vec{a}\)와 방향이 반대인 단위벡터는?