벡터의 연산

폭 200 m인 강이 동쪽으로 초속 3 m로 흐른다. 잔잔한 물에서 초속 5 m로 가는 배를 타고 남쪽 기슭에서 바로 맞은편 북쪽 선착장으로 가려 한다. 뱃머리를 정북쪽으로 두면 배는 물살에 떠밀려 선착장보다 동쪽에 닿는다. 뱃머리를 상류 쪽, 곧 서쪽으로 조금 돌려야 할 텐데, 몇 도 돌려야 할까? 그리고 그렇게 가면 강을 건너는 데 몇 초 걸릴까?

2.6.1속도를 화살표로 더하다

속도는 크기와 방향을 함께 가진 양이어서 화살표, 곧 벡터로 나타낸다. 강 위의 배는 물에 대해서 움직이고 물은 땅에 대해서 흐르므로, 땅에서 본 배의 속도는 두 속도 벡터의 합이다. 두 벡터의 합은 한 화살표의 끝에 다른 화살표의 시작을 이어 붙였을 때 처음 시작에서 마지막 끝으로 가는 화살표이다. 그래서 배가 정북쪽으로 가려면 배의 속도와 물살의 속도를 이어 붙인 끝이 정북쪽에 놓이도록 배의 방향을 골라야 한다.

성분을 쓰면 화살표를 그리지 않고도 계산할 수 있다. 동쪽을 \(x\)축, 북쪽을 \(y\)축으로 잡으면 물살의 속도는 \((3, 0)\)이고, 뱃머리를 서쪽으로 \(\theta\)만큼 돌린 배의 속도는 \((-5\sin\theta, 5\cos\theta)\)이다. 두 벡터의 합의 \(x\)성분이 0이 되어야 정북쪽으로 가므로 \(5\sin\theta = 3\)이다. 그래서 문제는 연립방정식 하나로 바뀐다.¹

2.6.2두 화살표로 어디든 가기

평행하지 않은 두 벡터를 정해 두면 평면의 어느 점이든 두 벡터를 몇 배씩 더해 갈 수 있다. 예를 들어 \(\vec a = (2, 1)\), \(\vec b = (1, -1)\)로 점 \((7, 1)\)에 가려면 \(s(2, 1) + t(1, -1) = (7, 1)\)에서 \(2s + t = 7\), \(s - t = 1\)을 풀어 \(s = 8/3\), \(t = 5/3\)을 얻는다. 두 벡터가 평행하면 그 방향의 직선 위만 갈 수 있으므로, 두 벡터가 평행하지 않다는 조건이 꼭 필요하다. 이 두 벡터는 좌표축처럼 평면 위의 위치를 정하는 기준이 된다.

2.6.3예제 풀이

합속도의 \(x\)성분이 0이려면 \(5\sin\theta = 3\), 곧 \(\sin\theta = 0.6\)이므로 \(\theta \approx 36.9°\)이다. 그때 배의 속도는 \((-3, 4)\)이고 합속도는 \((0, 4)\)이므로, 배는 정북쪽으로 초속 4 m로 간다. 200 m를 건너는 데 \(200/4 = 50\)초가 걸린다.

뱃머리를 정북쪽으로 두면 합속도는 \((3, 5)\)이고, 북쪽 성분이 5이므로 \(200/5 = 40\)초 만에 건너지만 그동안 동쪽으로 \(3\times40 = 120\) m 떠밀린다. 그래서 가장 빨리 건너는 방법과 바로 맞은편에 닿는 방법은 다르다. 물살이 배보다 빠르면 \(\sin\theta = 3/5\)처럼 1보다 작은 값이 나오지 않아, 아무리 돌려도 맞은편에 닿을 수 없다. 즉 속도처럼 방향이 있는 양은 벡터로 더하고, 성분으로 나누어 계산하면 원하는 방향을 만드는 조건을 방정식으로 풀 수 있다.

아래 탐구 카드에서 물살과 배의 속력을 바꾸며 뱃머리의 방향을 찾고, 주어진 두 화살표만으로 목표점에 가는 방법을 찾아보자.

1. 비행기 조종사도 같은 계산을 한다. 옆바람이 부는 활주로에 내릴 때 비행기는 기수를 바람 쪽으로 비스듬히 돌린 채 활주로와 나란히 다가오는데, 이를 크랩 착륙이라 한다.