벡터의 내적

상자를 끈으로 비스듬히 끌면, 같은 힘을 주어도 끈을 바닥과 나란하게 당길 때보다 덜 움직인다. 힘 가운데 이동 방향을 향하는 부분만 일을 하기 때문이다. 두 벡터가 같은 방향을 얼마나 향하는지를 수 하나로 나타낼 수 있다면, 일의 양도, 두 벡터가 수직인지도 쉽게 알 수 있지 않을까?

사잇각 \(\theta\) (°)

3.3.1내적의 정의

\(|\vec b|\cos\theta\)는 \(\vec b\)를 \(\vec a\) 방향으로 정사영한 길이이다. 따라서 내적은 '\(\vec a\)의 크기 \(\times\) \(\vec b\) 가운데 \(\vec a\) 방향 부분'이다. 그림 1에서 각을 바꾸어 보자. 0°이면 내적이 최대인 12, 90°이면 0, 180°이면 최소인 \(-12\)이다. 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 필요충분조건은 \(\vec a \cdot \vec b = 0\)이다.

이번에는 \(\vec a\)를 고정하고 \(\vec b\)를 바꾸어 가며, 내적이 같은 값이 되는 \(\vec b\)들이 어디에 있는지 보자. 내적은 \(|\vec a|\)와 정사영의 길이를 곱한 것이므로, 정사영의 길이가 같은 \(\vec b\)들은 내적도 같다. 정사영의 길이가 같다는 것은 \(\vec b\)의 끝점에서 \(\vec a\)가 놓인 직선에 내린 수선의 발이 같다는 뜻이다. 그래서 내적이 같은 \(\vec b\)들의 끝점은 \(\vec a\)에 수직인 한 직선 위에 늘어서고, 내적의 값을 바꾸면 이 직선이 \(\vec a\) 방향으로 나란히 옮겨 간다. 지도의 등고선처럼 \(\vec a\)에 수직인 평행선들이 내적의 값을 매기는 셈이다. 뒤에서 배울 직선과 평면의 방정식에서 법선벡터가 바로 이 \(\vec a\)의 역할을 한다.

3.3.2성분으로 구하는 내적

\(\vec a = (a_1, a_2)\), \(\vec b = (b_1, b_2)\)가 이루는 삼각형에 코사인법칙을 쓰면 \(|\vec b - \vec a|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2|\vec a||\vec b|\cos\theta\)이다. 좌변과 \(|\vec a|^2\), \(|\vec b|^2\)를 성분으로 전개하여 정리하면 \(|\vec a||\vec b|\cos\theta = a_1b_1 + a_2b_2\)가 나온다.

내적은 교환법칙 \(\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a\)와 분배법칙이 성립하고, \(\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2\)이다. 물리에서 힘 \(\vec F\)가 물체를 \(\vec s\)만큼 옮길 때 한 일이 \(W = \vec F \cdot \vec s\)이다.¹

3.3.3예제 풀이

\(\vec a \cdot \vec b = 3 + 0 + 8 = 11\), \(|\vec a| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3\), \(|\vec b| = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5\)이다. 따라서 \(\cos\theta = \dfrac{11}{15}\)이고 \(\theta \approx 43°\)이다.

\(\vec a \cdot \vec c = 2 + 2k - 2 = 2k = 0\)이므로 \(k = 0\)이다. 공간에서 각도기로 직각을 재지 않아도, 성분 계산 한 번으로 수직인지 판정할 수 있다.

아래 탐구 카드에서 두 벡터의 사잇각과 내적의 관계, 공간에서 수직 판정을 직접 해 보자.

1. 끈으로 상자를 바닥과 30° 각도로 100 N의 힘으로 당겨 10 m 옮겼다면 일은 \(100 \times 10 \times \cos 30° \approx 866\) J이다. 같은 힘을 바닥과 나란히 주었다면 1000 J이다.