집합의 뜻과 표현

'우리 반에서 키가 큰 학생들'과 '우리 반에서 키가 170 cm 이상인 학생들'은 둘 다 모임이다. 그런데 수학에서는 앞의 것은 집합이 아니고 뒤의 것만 집합이라고 한다. 무엇이 다를까? 그리고 원소가 아주 많은 집합은 어떻게 적을까?

\(n\) =

2.1.1기준이 분명한 모임

'키가 큰 학생'은 사람마다 기준이 다르다. 175 cm인 학생을 어떤 사람은 크다고 하고 어떤 사람은 보통이라고 한다. 그래서 이 모임에 누가 들어가는지가 정해지지 않는다. 반면에 '키가 170 cm 이상인 학생'은 누구든 키를 재 보면 들어가는지 아닌지가 확실하게 갈린다.

수학은 이렇게 들어가는지 아닌지가 분명한 모임만 다룬다. 어떤 기준에 따라 대상을 분명하게 정할 수 있을 때, 그 대상들의 모임을 집합이라 하고, 집합을 이루는 대상 하나하나를 그 집합의 원소라 한다.

가령 12의 양의 약수의 집합을 \(A\)라 하면 \(3 \in A\)이고 \(5 \notin A\)이다. 기호 \(\in\)는 원소를 뜻하는 영어 element의 첫 글자에서 왔다. 집합은 보통 대문자로, 원소는 소문자로 쓴다.

2.1.2집합을 적는 두 가지 방법

12의 양의 약수의 집합은 원소를 모두 늘어놓아 \(\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}\)로 쓸 수 있다. 이것을 원소나열법이라 한다. 같은 집합을 \(\{x \mid x\text{는 }12\text{의 양의 약수}\}\)로 쓸 수도 있다. 세로선 앞에는 원소를 대표하는 문자를, 뒤에는 그 문자가 만족하는 조건을 적는 조건제시법이다.

그림 1에서 \(n\)을 바꾸어 보자. 조건제시법으로 쓴 식은 \(n\) 자리만 바뀌고 모양이 그대로이지만, 원소나열법으로 쓴 줄은 원소의 개수에 따라 길어지고 짧아진다. 원소가 많거나 끝없이 이어지는 집합은 조건제시법이 편하다. 가령 \(\{x \mid x\text{는 짝수인 자연수}\}\)는 원소나열법으로 \(\{2, 4, 6, \ldots\}\)처럼 '\(\ldots\)'을 붙여 쓸 수밖에 없다.

원소가 유한개인 집합을 유한집합, 무수히 많은 집합을 무한집합이라 한다. 유한집합 \(A\)의 원소의 개수는 \(n(A)\)로 쓴다. 원소가 하나도 없는 집합은 공집합이라 하고 \(\varnothing\)로 쓰며, 유한집합으로 본다. 가령 \(\{x \mid x^2 = -1,\ x\text{는 실수}\}\)는 공집합이다.¹

2.1.3예제 풀이

20 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19이므로 \(A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\)이고 \(n(A) = 8\)이다. 1은 소수가 아니라는 점을 빠뜨리지 않아야 한다.

\(B\)는 1보다 크고 4보다 작은 정수이므로 \(B = \{2, 3\}\), \(n(B) = 2\)이다. 그런데 \(C\)는 범위는 같아도 실수 전체를 모은다. 1.5도, \(\sqrt{2}\)도, 3.999도 원소이므로 무한집합이고, 원소를 늘어놓아 적을 수 없다.

\(B\)와 \(C\)는 조건의 부등식이 같은데도 하나는 원소가 2개이고 하나는 무수히 많다. 즉 조건제시법에서는 '\(x\)가 어떤 수인가'까지 적어야 집합이 정해진다. 아래 탐구 카드에서 조건을 바꾸어 가며 원소가 몇 개 생기는지 직접 세어 보자.

1. 집합의 원소를 적을 때 같은 원소를 두 번 쓰지 않고, 순서도 따지지 않는다. \(\{1, 2, 2\}\)는 \(\{1, 2\}\)와 같고, \(\{2, 1\}\)과도 같다.