합의 법칙과 곱의 법칙
본문티셔츠 3벌과 바지 4벌이 있다. 위아래 한 벌씩 골라 입는 방법은 몇 가지일까? 또 오늘은 티셔츠와 원피스(2벌) 가운데 한 가지만 입는다면 고르는 방법은 몇 가지일까? 두 질문은 왜 하나는 곱하고 하나는 더할까?
3.1.1잇달아 고르면 곱한다
티셔츠를 먼저 고르고 바지를 고른다고 하자. 티셔츠가 무엇이든 바지는 4가지로 고를 수 있다. 그래서 그림 1처럼 티셔츠마다 한 줄씩, 한 줄에 4칸씩 짝을 늘어놓으면 칸은 모두 \(3 \times 4 = 12\)개이다. 하나하나 세지 않아도 줄 수와 한 줄의 칸 수만 알면 된다.
여기서 곱셈이 통하는 조건은 '티셔츠가 무엇이든 바지를 고르는 방법의 수가 같다'는 것이다. 만약 빨간 티셔츠에는 바지 2벌만 어울린다면 줄마다 칸 수가 달라져서 곱셈 대신 줄마다 더해야 한다.
사건 \(A\)가 일어나는 경우의 수가 \(m\)이고, 그 각각에 대하여 사건 \(B\)가 일어나는 경우의 수가 \(n\)이면, 두 사건 \(A\)와 \(B\)가 잇달아(동시에) 일어나는 경우의 수는 \(m \times n\)이다.
정의의 '그 각각에 대하여'가 앞에서 말한 조건이다. 그림 1의 줄마다 칸 수가 \(n\)으로 같을 때 곱셈이 성립한다. 사건이 셋 이상이어도 같아서, 신발 2켤레까지 고르면 \(3 \times 4 \times 2 = 24\)가지이다.
3.1.2겹치지 않는 경우는 더한다
두 번째 질문은 다르다. 티셔츠를 고르면 원피스를 입지 않고, 원피스를 고르면 티셔츠를 입지 않는다. 즉 두 경우가 동시에 일어나지 않는다. 그러면 고르는 방법은 티셔츠 3가지와 원피스 2가지를 합친 \(3 + 2 = 5\)가지이다.
두 사건 \(A\), \(B\)가 동시에 일어나지 않을 때, \(A\)가 일어나는 경우의 수가 \(m\), \(B\)가 일어나는 경우의 수가 \(n\)이면, \(A\) 또는 \(B\)가 일어나는 경우의 수는 \(m + n\)이다.
두 사건이 동시에 일어날 수 있으면 겹친 부분을 두 번 세게 된다. 가령 1부터 20까지의 수 가운데 2의 배수는 10개, 3의 배수는 6개이지만, 6의 배수 3개는 양쪽에 모두 들어 있다. 그래서 2의 배수 또는 3의 배수는 \(10 + 6 - 3 = 13\)개이다.1
3.1.3예제 풀이
72의 양의 약수의 개수와 그 약수들의 합을 구하여라.
\(72 = 2^3 \times 3^2\)이다. 72의 약수는 \(2^a \times 3^b\)꼴이고, \(a\)는 0, 1, 2, 3 가운데 하나, \(b\)는 0, 1, 2 가운데 하나이다. \(a\)를 무엇으로 고르든 \(b\)를 고르는 방법은 3가지이므로, 곱의 법칙에 따라 약수는 \(4 \times 3 = 12\)개이다.
약수의 합도 같은 생각으로 구한다. \((1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)\)를 전개하면 첫째 괄호에서 한 항, 둘째 괄호에서 한 항을 골라 곱한 \(4 \times 3 = 12\)개의 항이 나온다. 이 항들이 바로 72의 약수 12개이다. 따라서 약수의 합은 \(15 \times 13 = 195\)이다.
약수를 직접 써서 확인해 보면 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72로 정말 12개이고, 더하면 195이다. 곱의 법칙과 다항식의 전개가 같은 구조라는 것이 여기서 드러난다. 아래 탐구 카드에서 고르는 단계를 늘리고 줄이며 곱과 합이 어떻게 달라지는지 직접 확인해 보자.
- 두 집합의 원소의 개수로 쓰면 \(n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)\)이다. 집합은 공통수학2에서 자세히 다룬다.
잇달아 고를 때 앞의 선택마다 뒤의 선택 수가 같으면 곱하고, 동시에 일어나지 않는 경우들 가운데 하나를 고를 때는 더한다. 처음 질문에서 위아래를 함께 고르는 방법은 \(3 \times 4 = 12\)가지이고, 티셔츠와 원피스 가운데 한 가지만 고르는 방법은 \(3 + 2 = 5\)가지이다.