순열

학생 5명 가운데 3명을 뽑아 반장, 부반장, 총무를 한 명씩 맡기려 한다. 방법은 모두 몇 가지일까? 사람이 늘어나면 경우가 너무 많아 다 써 볼 수 없는데, 곱의 법칙으로 어떻게 셀 수 있을까?

\(n\) =

\(r\) =

3.2.1자리를 하나씩 채운다

반장 자리부터 채우자. 5명 가운데 누구든 반장이 될 수 있으므로 5가지이다. 반장이 정해지면 그 사람은 부반장이 될 수 없으니 부반장은 남은 4명 가운데에서 고른다. 마지막으로 총무는 남은 3명 가운데에서 고른다.

반장이 누구이든 부반장을 고르는 방법은 4가지로 같고, 두 사람이 누구이든 총무를 고르는 방법은 3가지로 같다. 따라서 곱의 법칙에 따라 \(5 \times 4 \times 3 = 60\)가지이다. 그림 1에서 \(n\)과 \(r\)을 바꾸어 보면, 자리마다 적힌 수가 하나씩 줄어들며 곱해지는 모습이 보인다.

정의의 마지막 인수가 \(n - r + 1\)인 까닭은 그림 1에서 바로 보인다. 첫째 자리가 \(n\), 둘째 자리가 \(n - 1\)이므로 \(r\)번째 자리는 \(n - (r - 1)\)이다. 처음 질문은 \({}_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60\)이다. 반장, 부반장, 총무라는 이름 때문에 같은 세 사람이라도 맡는 자리가 바뀌면 다른 경우가 된다. 순열이 '순서를 따지는' 셈법인 이유가 이것이다.

3.2.2계승으로 쓰기

\(n\)명을 모두 일렬로 세우면 \(r = n\)이므로 \({}_n\mathrm{P}_n = n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1\)이다. 1부터 \(n\)까지의 곱을 \(n\)의 계승이라 하고 \(n!\)로 쓴다. 가령 \(4! = 24\), \(5! = 120\)이다.

계승을 쓰면 순열의 수를 한 덩어리로 나타낼 수 있다. \({}_5\mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3\)에 \(\dfrac{2 \times 1}{2 \times 1}\)을 곱하면 \(\dfrac{5!}{2!}\)이다. 즉 \(n!\)에서 쓰지 않는 뒤쪽 \((n - r)!\)을 나누어 없앤 것이다.

\(0! = 1\)이라는 약속은 이상해 보이지만, 공식이 \(r = n\)일 때도 통하게 하려면 필요하다. \({}_n\mathrm{P}_n = \dfrac{n!}{0!}\)이 \(n!\)과 같아야 하기 때문이다.¹

3.2.3예제 풀이

이웃하는 경우에는 여학생 2명을 한 덩어리로 묶는다. 그러면 남학생 3명과 덩어리 1개, 모두 4개를 일렬로 세우는 일이 되어 \(4! = 24\)가지이다. 그런데 덩어리 안에서 두 여학생이 서는 순서도 \(2! = 2\)가지가 있다. 덩어리를 어떻게 세우든 안의 순서는 2가지이므로 곱의 법칙에 따라 \(24 \times 2 = 48\)가지이다.

이웃하지 않는 경우는 전체에서 뺄 수도 있다. 5명을 일렬로 세우는 방법은 \(5! = 120\)가지이므로 \(120 - 48 = 72\)가지이다. 다른 방법으로 세어 확인해 보자. 남학생 3명을 먼저 세우면 \(3! = 6\)가지이고, 남학생 사이와 양 끝의 빈자리 4곳 가운데 2곳을 골라 여학생을 순서 있게 세우면 \({}_4\mathrm{P}_2 = 12\)가지이다. 따라서 \(6 \times 12 = 72\)로 같다.

두 방법이 같은 답을 주었으니 셈이 맞을 가능성이 높다. 셈법을 두 가지로 바꾸어 확인하는 습관은 경우의 수에서 특히 쓸모가 있다. 아래 탐구 카드에서 자리를 채우는 순서와 나뭇가지 그림을 직접 조작해 보자.

1. \({}_n\mathrm{P}_0 = 1\)은 '아무것도 고르지 않고 늘어놓는 방법'이 한 가지라는 뜻으로 읽을 수 있다. 빈 줄 하나가 그 한 가지이다.