다항식의 연산

가로가 \(x + 3\), 세로가 \(x + 2\)인 직사각형이 있다. 이 넓이를 \(x\)에 대한 식 하나로 쓸 수 있을까? 그리고 그 식은 \(x\)가 얼마이든 넓이와 같은 값을 줄까?

\(x\) =

1.1.1식을 수처럼 다루기

그림 1의 슬라이더를 움직여 \(x = 4\)에 두면 직사각형은 가로 7, 세로 6이므로 넓이가 42이다. 조각으로 나누어 세어도 \(16 + 12 + 8 + 6 = 42\)로 같다. 그런데 이 계산은 \(x\)를 바꿀 때마다 다시 해야 한다. 넓이를 \(x\)에 대한 식으로 한 번만 정리해 두면, 그 뒤로는 \(x\)에 수를 넣기만 하면 된다.

여기서 쓰는 식이 다항식이다. \(3x^2\), \(-5x\), \(7\)처럼 수와 문자의 곱으로 된 식을 단항식이라 하고, 단항식의 합으로 된 식을 다항식이라 한다. 단항식 하나하나를 항이라 부르고, 문자가 곱해진 횟수를 그 항의 차수라 한다. 다항식의 차수는 항의 차수 가운데 가장 큰 값이다. 가령 \(2x^3 - x + 4\)는 삼차식이다.

다항식을 쓸 때는 보통 차수가 높은 항부터 낮은 항 순서로 늘어놓는다. 이것을 내림차순이라 한다. 순서를 맞추어 두면 같은 차수의 항, 곧 동류항이 한눈에 보여서 계산할 때 빠뜨리는 항이 줄어든다.

1.1.2덧셈과 뺄셈은 같은 차수끼리

두 다항식 \(A = 2x^2 - 3x + 1\), \(B = x^2 + x - 4\)를 더해 보자. \(x^2\)항은 \(x^2\)항끼리, \(x\)항은 \(x\)항끼리 계수만 더하면 된다. 자연수의 덧셈에서 일의 자리는 일의 자리끼리, 십의 자리는 십의 자리끼리 더하는 것과 같은 일이다. 다만 자연수와 달리 받아올림이 없다. 계수가 10을 넘어도 그 차수 칸에 그대로 남는다.

그림 2에서 보듯이 \(A + B = 3x^2 - 2x - 3\)이다. 뺄셈 \(A - B\)는 \(B\)의 모든 항의 부호를 바꾸어 \(A\)에 더하는 것이다. 따라서 \(A - B = (2 - 1)x^2 + (-3 - 1)x + (1 + 4) = x^2 - 4x + 5\)이다. 괄호를 풀 때 \(B\)의 마지막 항 \(-4\)의 부호까지 바꾸는 것을 잊으면 상수항이 \(-3\)으로 틀리게 나온다.

1.1.3곱셈은 모든 항을 빠짐없이 곱하는 일

이제 그림 1로 돌아가자. 가로 \(x + 3\)을 \(x\)와 3으로, 세로 \(x + 2\)를 \(x\)와 2로 나누면 조각이 네 개 생긴다. 넓이는 \(x \cdot x\), \(3 \cdot x\), \(x \cdot 2\), \(3 \cdot 2\)이다. 즉 분배법칙은 '가로의 각 부분과 세로의 각 부분을 한 번씩 짝지어 곱하라'는 뜻이고, \(3x\)와 \(2x\)는 차수가 같아서 하나로 모인다.

항이 더 많아도 원리는 같다. 항이 \(m\)개인 식과 \(n\)개인 식을 곱하면 처음에는 곱이 \(mn\)개 생기고, 그 가운데 차수가 같은 것끼리 모인다. 또 \(x^i \cdot x^j = x^{i+j}\)이므로 곱한 식의 차수는 두 식의 차수의 합이다. 아래 탐구 카드의 곱셈표에서 같은 색 칸이 대각선을 따라 놓이는 것도 이 때문이다.

이 법칙들은 수에서 성립하던 것과 같다. 다항식의 각 문자 자리에 어떤 수를 넣어도 양변이 같은 수가 되기 때문이다. 그래서 여러 식을 곱할 때는 계산하기 편한 둘부터 묶어도 된다.

중학교에서 배운 곱셈 공식도 이 법칙에서 나온다. 가령 \((a + b)^3\)은 \((a + b)(a + b)^2 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)\)으로 나누어 곱하면 된다. 분배법칙으로 펼치면 \(a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3\)이고, 동류항을 모으면 \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)이다. 같은 방법으로 \((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)과 \((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\)도 확인할 수 있다.

1.1.4나눗셈은 몫과 나머지를 남긴다

17을 5로 나누면 몫이 3이고 나머지가 2이다. 이것을 \(17 = 5 \times 3 + 2\)로 쓰고, 나머지 2는 나누는 수 5보다 작다. 다항식의 나눗셈도 같은 모양으로 끝난다. 다만 다항식에서는 '작다'를 크기가 아니라 차수로 잰다.

\(P = 2x^3 - 3x^2 + 4x + 1\)을 \(x - 2\)로 나누어 보자. 먼저 \(P\)의 최고차항 \(2x^3\)을 \(x\)로 나누면 \(2x^2\)이 나온다. 이 \(2x^2\)에 \(x - 2\)를 곱한 \(2x^3 - 4x^2\)을 \(P\)에서 빼면 \(x^2 + 4x + 1\)이 남는다. 남은 식에 같은 일을 되풀이하면 몫의 다음 항 \(x\)와 \(6\)이 차례로 나온다.

그림 3의 마지막 줄에 남은 13은 상수, 곧 0차식이다. 나누는 식 \(x - 2\)는 일차식이므로 더 나눌 수 없고, 여기서 나눗셈이 멈춘다. 따라서 몫은 \(Q = 2x^2 + x + 6\), 나머지는 \(R = 13\)이다.

정의의 \(A = BQ + R\)은 그림 3에서 한 일을 한 줄로 적은 것이다. 빼낸 줄들을 모두 더하면 \(B \times Q\)이고, 마지막에 남은 것이 \(R\)이다. 나머지의 차수에 대한 조건은 '더 이상 최고차항을 지울 수 없을 때 멈춘다'는 뜻이다. 그래서 일차식으로 나누면 나머지는 상수이고, 이차식으로 나누면 나머지는 일차 이하의 식이다.

1.1.5예제 풀이

먼저 빠진 차수가 있는지 본다. 나누는 식 \(x^2 + 1\)에는 \(x\)항이 없으므로 \(x^2 + 0x + 1\)로 생각하면 자리를 맞추기 쉽다.

최고차항끼리 나누면 \(x^3 \div x^2 = x\)이다. \(x(x^2 + 1) = x^3 + x\)를 빼면 \(2x^2 - 2x + 3\)이 남는다. 다시 최고차항끼리 나누면 \(2x^2 \div x^2 = 2\)이고, \(2(x^2 + 1) = 2x^2 + 2\)를 빼면 \(-2x + 1\)이 남는다. 이 식은 일차식이라 이차식 \(x^2 + 1\)보다 차수가 낮으므로 여기서 멈춘다. 즉 몫은 \(x + 2\), 나머지는 \(-2x + 1\)이다.

확인은 정의의 식으로 한다. \((x^2 + 1)(x + 2) + (-2x + 1) = x^3 + 2x^2 + x + 2 - 2x + 1 = x^3 + 2x^2 - x + 3\)이므로 원래 식이 그대로 나온다. 수를 넣어 확인해도 좋다. \(x = 1\)이면 원래 식은 \(1 + 2 - 1 + 3 = 5\)이고, 오른쪽은 \(2 \times 3 + (-1) = 5\)이다.

여기서 나머지가 상수가 아니라 일차식이라는 데 주의하자. 자연수의 나눗셈에서 나머지가 나누는 수보다 작았듯이, 다항식의 나머지는 나누는 식보다 차수가 낮기만 하면 된다. \(-2x + 1\)의 계수가 나누는 식의 계수보다 커도 상관없다.² 아래 탐구 카드에서 나눗셈을 한 단계씩 진행하며 몫의 각 항이 어디서 나오는지 직접 따라가 보자.

1. 0이 아닌 상수의 차수는 0으로 본다. 다항식 0에는 차수를 정하지 않으므로, 나머지가 0이면 차수를 따지지 않고 나누어떨어진다고만 말한다.
2. 나누는 식의 최고차항 계수가 1이 아니면 몫의 계수가 분수가 될 수 있다. 가령 \(x^2 + 1\)을 \(2x\)로 나누면 몫은 \(\tfrac{1}{2}x\), 나머지는 1이다.