인수분해

본문

본문

\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)은 어떤 식들을 곱해서 나온 것일까? 전개는 기계적으로 할 수 있지만, 거꾸로 곱하기 전의 식을 찾을 때는 무엇을 단서로 삼아야 할까?

\(b\) = 옮기기

그림 1. 넓이가 \(a^2 - b^2\)인 L자 도형의 한쪽 조각을 옮기면 가로 \(a + b\), 세로 \(a - b\)인 직사각형이 된다.

먼저 알아야 할 것중학교의 인수분해 공식 \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)와 공통인수로 묶기, 이 단원의 곱셈 공식(다항식의 연산), 인수정리와 조립제법(항등식과 나머지정리).

1.3.1전개를 거꾸로 읽기

그림 1에서 한 변이 \(a = 5\)인 정사각형의 귀퉁이에서 한 변이 \(b\)인 정사각형을 떼어 내자. 남은 L자 도형의 넓이는 \(a^2 - b^2\)이다. 이제 '옮기기' 슬라이더를 끝까지 밀면 오른쪽 띠가 아래로 돌아 들어가 직사각형 하나가 된다. 가로는 \(a + b\), 세로는 \(a - b\)이므로 넓이는 \((a + b)(a - b)\)이다.

같은 도형의 넓이를 두 가지로 썼으니 \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)이다. 이렇게 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것을 인수분해라 하고, 곱해진 각 식을 인수라 한다. 다시 말해 인수분해는 전개를 거꾸로 하는 일이고, 그래서 곱셈 공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 그대로 인수분해 공식이 된다.

1.3.2세제곱이 들어간 공식

곱셈 공식 \((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)을 거꾸로 읽으면 세제곱의 합을 인수분해할 수 있다. 같은 방법으로 다음 공식들을 얻는다.

정리 1.3.1 인수분해 공식

\[a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2\] \[a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3 = (a \pm b)^3\] \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2), \quad a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\] (복부호 동순)

공식을 쓸 때는 각 항을 어떤 식의 제곱이나 세제곱으로 볼지를 먼저 정한다. 가령 \(27x^3 - 8\)은 \((3x)^3 - 2^3\)이므로 \(a = 3x\), \(b = 2\)를 넣어 \((3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\)이다. 여기서 뒤의 인수 \(9x^2 + 6x + 4\)를 \((3x + 2)^2\)으로 착각하기 쉬운데, 가운데 항이 \(2ab = 12x\)가 아니라 \(ab = 6x\)이다.

식이 길면 같은 덩어리를 한 문자로 바꾸어 본다. \(x^4 - 5x^2 + 4\)에서 \(x^2 = X\)로 두면 \(X^2 - 5X + 4 = (X - 1)(X - 4)\)이다. 그러면 원래 식은 \((x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)\)이다.

1.3.3공식에 맞지 않을 때는 인수정리로

처음 질문의 \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)은 어느 공식의 꼴과도 맞지 않는다. 이럴 때 쓰는 단서가 인수정리이다. \(P(a) = 0\)인 \(a\)를 하나 찾으면 \(x - a\)가 인수이므로, 조립제법으로 나누어 차수를 하나 낮출 수 있다.

그런데 \(a\)를 아무 수나 넣어 볼 수는 없다. 계수가 모두 정수일 때 \(P(a) = 0\)인 정수 \(a\)가 있다면, \(a\)는 상수항 6의 약수여야 한다.¹ 따라서 후보는 \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\)뿐이다. 차례로 넣어 보면 \(P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\)이다.

그림 2. 인수 하나를 찾을 때마다 조립제법으로 차수를 하나씩 낮추면, 남은 식이 아는 꼴이 될 때까지 쪼갤 수 있다.

그림 2처럼 \(x - 1\)로 나누면 몫은 \(x^2 - x - 6\)이다. 이 이차식은 중학교에서 배운 방법으로 \((x + 2)(x - 3)\)이 된다. 즉 \(P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)\)이다.

1.3.4예제 풀이

예제 1.3.2

\(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6\)을 인수분해하여라.

최고차항 계수가 2이므로 정수만이 아니라 분수도 후보가 된다. 유리수 \(\tfrac{p}{q}\)를 넣어 0이 된다면 \(p\)는 상수항 6의 약수, \(q\)는 최고차항 계수 2의 약수이다. 따라서 후보는 \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \tfrac{1}{2}, \pm \tfrac{3}{2}\)이다.

정수부터 넣어 보면 \(P(1) = -6\), \(P(-1) = 12\), \(P(3) = 54 - 27 - 33 + 6 = 0\)이다. 그러면 \(x - 3\)이 인수이다. 조립제법으로 계수 \(2, -3, -11, 6\)을 3으로 나누면 아래 줄이 \(2, 3, -2, 0\)이므로 몫은 \(2x^2 + 3x - 2\)이다.

남은 이차식은 \(2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)\)이다. 전개하면 \(2x^2 + 4x - x - 2\)이므로 맞는다. 따라서 \(2x^3 - 3x^2 - 11x + 6 = (x - 3)(2x - 1)(x + 2)\)이다. 결과에 \(x = 0\)을 넣어 확인하면 \((-3)(-1)(2) = 6\)으로 원래 식의 상수항과 같다.

후보 목록은 '유리수 인수가 있다면 이 안에 있다'는 뜻일 뿐, 반드시 하나가 맞는다는 보장은 아니다. \(x^2 + 2x + 3\)처럼 후보를 다 넣어도 0이 되지 않는 식은 계수가 유리수인 범위에서 더 쪼개지지 않는다. 아래 탐구 카드에서 넓이와 부피 모형을 움직이며 공식의 조각들이 어떻게 모이는지 직접 확인해 보자.

\(P(a) = a^3 - 2a^2 - 5a + 6 = 0\)이면 \(6 = -a^3 + 2a^2 + 5a = a(-a^2 + 2a + 5)\)이다. 오른쪽은 \(a\)의 배수이므로 정수 \(a\)는 6의 약수여야 한다.

마무리

인수분해는 전개를 거꾸로 읽는 일이므로, 곱셈 공식이 첫 번째 단서이다. 공식에 맞지 않는 삼차 이상의 식은 상수항과 최고차항 계수의 약수로 만든 후보 가운데 \(P(a) = 0\)인 값을 찾고, 조립제법으로 차수를 낮추어 간다. 그래서 처음 질문의 식은 \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\)을 곱해서 나온 것이다.

탐구 1

\((a + b + c)^2\)의 아홉 조각은 어떻게 모일까?

인수분해 · 넓이 모형

\(a \cdot b \cdot c\) = 3 · 2 · 1

\((a+b+c)^2\): —
\(a^2+b^2+c^2\): —
\(2(ab+bc+ca)\): —

—

그림 속 세로 가르는 선을 좌우로 끌면 이웃한 두 길이가 바뀌고 합은 그대로이다. 슬라이더로는 한 길이씩 바꿀 수 있다. 넓이는 상대값이다.

질문\((a + b)^2\)은 정사각형을 네 조각으로 나눈 그림이었다. 항이 셋이면 몇 조각이 생기고, 어떤 조각끼리 모일까? 거꾸로 \(x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2y + 2x\)는 한 식의 제곱으로 볼 수 있을까?
복원인수분해는 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것으로, 전개(곱셈 공식)를 거꾸로 하는 과정이다. 중학교에서는 \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)과 공통인수로 묶기를 배웠다.
설명한 변을 \(a\), \(b\), \(c\)로 자르면 조각이 9개 생긴다. 대각선 위의 정사각형 셋은 \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\)이고, 나머지 여섯 조각은 같은 직사각형이 둘씩 짝을 이룬다\((ab, bc, ca)\). 그래서 \(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^2\)이다. 따라서 인수분해할 때는 제곱인 항 셋과 '두 배의 곱' 항 셋을 찾고, 두 배의 곱 항의 부호로 \(a\), \(b\), \(c\)의 부호를 정한다. 예를 들어 \(x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2y + 2x\)에서는 \(2xy\)와 \(2y\)가 음수이므로 \(y\) 쪽을 \(-y\)로 잡아 \((x - y + 1)^2\)이다.
연결인수분해의 첫 단계는 언제나 공통인수로 묶는 것이다. 식이 길면 같은 덩어리를 한 문자로 바꾸는 치환을 쓴다. 예를 들어 \((x^2 + x)^2 + 2(x^2 + x) + 1\)은 \(x^2 + x = X\)로 두면 \((X + 1)^2 = (x^2 + x + 1)^2\)이다. 세제곱 공식도 같은 방식으로 부피 모형을 만들 수 있다.
적용세로 선을 끌어 \(b\)를 가장 작게 만들면 남는 그림이 \((a + c)^2\)의 네 조각과 닮아 간다. \(ab\) 조각 두 개는 놓인 방향이 달라도 넓이가 늘 같고, 아홉 조각의 합이 언제나 \((a + b + c)^2\)과 같은지도 확인해 보자.
판단\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2\)으로 쓰는 실수는 직사각형 여섯 조각을 버린 것이다. 또 넓이 모형은 \(a\), \(b\), \(c\)가 양수일 때만 그릴 수 있지만, 등식 자체는 전개로 확인되므로 음수나 문자식을 넣어도 성립한다.

확인조건이 달라지면

\(x^2 + 4y^2 + 9 - 4xy + 12y - 6x\)를 인수분해하면?

탐구 2

\(a^3 - b^3\)은 왜 \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\)일까?

인수분해 · 부피 모형

\(a\) = 4 · \(b\) = 1.5 조각 떼어 놓기 = 60 %

—: —
—: —
—: —

—

부피는 상대값이다. \(a^3 - b^3\) 모드에서 점선 상자는 떼어 낸 작은 정육면체 \(b^3\)이고, \(b\)는 \(a\)보다 작게만 놓을 수 있다.

질문한 변이 \(a\)인 정육면체의 한 모서리에서 한 변이 \(b\)인 작은 정육면체를 떼어 내면 남는 부피는 \(a^3 - b^3\)이다. 이 울퉁불퉁한 입체를 직육면체 몇 개로 나누면 곱의 꼴이 보이지 않을까?
복원직육면체의 부피는 (가로) × (세로) × (높이)이다. 또 다항식의 곱셈에서 \((a - b)(a^2 + ab + b^2)\)을 전개하면 \(a^3 - b^3\)이 나왔다. 인수분해는 이 전개를 거꾸로 읽는 일이다.
설명남은 입체는 두께가 모두 \(a - b\)인 세 판으로 나뉜다. 세 판의 부피는 \((a - b) \cdot a \cdot a\), \((a - b) \cdot a \cdot b\), \((a - b) \cdot b \cdot b\)이고, 공통인수 \(a - b\)로 묶으면 \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)이다. 한편 \((a + b)^3\) 모드에서는 세 방향을 모두 \(a\)와 \(b\)로 잘라 조각이 8개 생기는데, \(a^3\)이 1개, \(a^2b\)가 3개, \(ab^2\)이 3개, \(b^3\)이 1개이다. 그래서 \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3\)이다. 두 공식의 \(b\)에 \(-b\)를 넣으면 \(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)과 \(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3\)도 얻는다.
연결수에서도 같은 일이 일어난다. \(10^3 - 1^3 = 999 = 9 \times 111 = (10 - 1)(100 + 10 + 1)\)이다. 문자식에서는 \(27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)\)처럼 각 항을 세제곱 꼴로 본 뒤 공식에 넣는다.
적용떼어 놓기를 100%로 하고 세 판의 모양을 비교해 보자. 세 판에 공통인 길이가 \(a - b\)라는 것이 보인다. \(b\)를 \(a\)에 가깝게 키우면 판들이 얇아지는 것도 확인하고, \((a + b)^3\) 모드에서는 \(a^2b\) 조각 세 개가 놓인 방향을 찾아보자.
판단\(a^2 + ab + b^2\)을 \((a + b)^2\)으로 착각하기 쉽지만, 가운데 항은 \(2ab\)가 아니라 \(ab\)이다. 또 \(a^3 + b^3\)은 \((a + b)^3\)이 아니다. 부피 모형은 \(a > b > 0\)일 때만 그릴 수 있지만, 공식은 전개로 확인되므로 모든 수와 식에서 성립한다.

확인조건이 달라지면

\(8x^3 + 27\)을 인수분해하면?

탐구 3

공식에 맞지 않는 삼차식은 어떻게 인수분해할까?

인수분해 · 인수정리와 조립제법

—

넣어 본 값: —
남은 식에 넣은 결과: —
찾은 일차 인수: 0개

후보 단추는 지금 남은 식의 (상수항의 약수) / (최고차항 계수의 약수)에 ± 부호를 붙인 값이다. 하나를 누르면 남은 식에 그 값을 넣고, 0이 되면 조립제법으로 나눈다.

질문\(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)은 세제곱 공식에도, 완전제곱 꼴에도 맞지 않는다. 이런 식은 어디서부터 쪼개야 할까?
복원인수정리에 따르면 \(P(a) = 0\)일 때 \(x - a\)는 \(P(x)\)의 인수이다. 또 조립제법으로 \(P(x)\)를 \(x - a\)로 나누면 몫을 빠르게 얻는다.
설명계수가 모두 정수인 \(P(x)\)에 기약분수 \(p/q\)를 넣어 0이 된다면, \(p\)는 상수항의 약수이고 \(q\)는 최고차항 계수의 약수이다. 그래서 0이 되는 값을 찾을 때는 ±(상수항의 약수)/(최고차항 계수의 약수)만 넣어 보면 된다. 0이 되는 값 \(a\)를 찾으면 조립제법으로 \(x - a\)로 나누어 차수를 하나 낮추고, 남은 식에서 같은 일을 되풀이한다. 남은 식이 이차식이면 인수분해 공식이나 같은 방법을 쓴다. 한편 \(a = 1/2\)처럼 분수가 나오면 인수를 \(2x - 1\)로 쓰고 몫을 2로 나눈다. \(x^4 - 5x^2 + 4\)처럼 \(x^2\)만 있는 사차식은 \(x^2 = X\)로 치환해 \(X^2 - 5X + 4 = (X - 1)(X - 4)\)로 풀어도 된다.
연결\(P(a) = 0\)인 \(a\)는 그래프 \(y = P(x)\)가 \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표이다. 그래서 인수분해를 끝내면 삼차방정식, 사차방정식 \(P(x) = 0\)의 해를 바로 읽을 수 있고, 다음 단원의 고차방정식 풀이가 이 과정 그대로이다.
적용첫 번째 식에서 후보를 눌러 0이 되는 값을 찾고, 남은 이차식을 끝까지 쪼개 보자. \(x^3 - 3x^2 + 4\)에서는 같은 인수가 두 번 나오는데, 그 점에서 그래프가 \(x\)축에 닿기만 하고 넘어가지 않는 것을 볼 수 있다. 마지막 식에서는 인수를 하나 찾은 뒤 남은 이차식에 후보를 모두 넣어 보자.
판단후보 목록은 '유리수 근이 있다면 이 안에 있다'는 뜻일 뿐, 반드시 근이 있다는 뜻이 아니다. \(x^2 + 2x + 3\)처럼 후보를 다 넣어도 0이 되지 않으면 유리수 계수 범위에서는 더 인수분해되지 않는다. 또 \(x^2 - 2\)처럼 근이 무리수인 식도 이 방법으로는 찾을 수 없다.

확인조건이 달라지면

\(x^3 - 4x^2 + x + 6\)을 인수분해하면?