지수법칙
본문\(2^3 \times 2^4 = 2^7\)은 2를 세 번 곱하고 네 번 더 곱했으니 일곱 번 곱한 것이라고 셀 수 있다. 그런데 \(2^{0.5} \times 2^{1.2}\)는 곱한 횟수를 셀 수 없다. 그래도 \(2^{1.7}\)이라고 해도 될까? 지수법칙은 실수 지수에서 어떻게 쓰일까?
1.3.1지수법칙
자연수 지수에서 지수법칙은 곱한 횟수를 세어 얻었다. 지수를 실수로 넓힐 때 '지수법칙이 그대로 성립하도록' 뜻을 정했으므로, 그 결과 다음 법칙이 모든 실수 지수에서 성립한다.
\(a > 0\), \(b > 0\)이고 \(x\), \(y\)가 실수일 때 \[a^x a^y = a^{x+y},\quad a^x \div a^y = a^{x-y},\quad (a^x)^y = a^{xy},\quad (ab)^x = a^x b^x\]
그림 1에서 \(m\)과 \(n\)을 바꾸어 보자. 높이 \(2^m\)과 \(2^n\)을 곱한 값은 언제나 \(x = m + n\)에서의 높이 \(2^{m+n}\)과 같다. 즉 곱셈이 지수에서는 덧셈으로 나타난다. 처음 질문의 \(2^{0.5} \times 2^{1.2}\)도 \(2^{1.7} \approx 3.25\)이다.
1.3.2밑을 같게 만들기
지수법칙은 밑이 같을 때 지수끼리 계산하게 해 준다. 그래서 밑이 다른 식은 먼저 같은 밑으로 바꾼다. 4, 8, 16은 모두 2의 거듭제곱이고, 9, 27은 3의 거듭제곱이며, \(\sqrt[3]{4} = 2^{2/3}\)처럼 거듭제곱근도 분수 지수로 바꿀 수 있다. 다시 말해 소인수분해와 분수 지수가 식을 정리하는 열쇠이다.
1.3.3주의할 점
지수법칙은 밑이 같거나 지수가 같을 때만 쓸 수 있다. \(2^3 + 2^4\)은 \(2^7\)이 아니다. 덧셈은 지수법칙의 대상이 아니므로 \(2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 24\)처럼 공통인수로 묶어야 한다. 또 \((a + b)^x\)는 \(a^x + b^x\)가 아니다.1
1.3.4예제 풀이
\(\sqrt[3]{4} \times 8^{1/6} \div 2^{-1/3}\)을 \(2^k\) 꼴로 나타내고 값을 구하여라. 또 \(a^{2x} = 3\)일 때 \(\dfrac{a^{3x} + a^{-3x}}{a^x + a^{-x}}\)의 값을 구하여라.
모두 밑 2로 바꾼다. \(\sqrt[3]{4} = 2^{2/3}\), \(8^{1/6} = (2^3)^{1/6} = 2^{1/2}\)이다. 그러면 식은 \(2^{2/3 + 1/2 - (-1/3)} = 2^{3/2}\)이다. 따라서 \(k = \tfrac{3}{2}\)이고 값은 \(2\sqrt{2}\)이다.
두 번째 식은 분자를 인수분해해 분모와 약분한다. 분자 \(a^{3x} + a^{-3x}\)는 \(t = a^x\)로 두면 \(t^3 + t^{-3}\)이고, 합의 세제곱 공식에서 \(t^3 + t^{-3} = (t + t^{-1})(t^2 - 1 + t^{-2})\)이다. 따라서 식은 \(t^2 - 1 + t^{-2} = a^{2x} - 1 + a^{-2x}\)이다.
\(a^{2x} = 3\)이므로 \(a^{-2x} = \tfrac{1}{3}\)이고, 값은 \(3 - 1 + \tfrac{1}{3} = \tfrac{7}{3}\)이다. 지수가 문자여도 \(a^x\)를 한 문자로 보면 공통수학1의 곱셈 공식이 그대로 쓰인다. 아래 탐구 카드에서 그래프의 높이를 곱해 보며 지수법칙을 직접 확인해 보자.
- \(a^x b^x = (ab)^x\)는 지수가 같을 때, \(a^x a^y = a^{x+y}\)는 밑이 같을 때의 법칙이다. 밑도 지수도 다른 \(2^3 \times 3^2\)는 더 줄일 수 없다.
지수를 실수로 넓힐 때 지수법칙이 성립하도록 뜻을 정했으므로, 밑이 양수이면 모든 실수 지수에서 곱셈은 지수의 덧셈, 거듭제곱은 지수의 곱셈이 된다. 식은 밑을 소인수로 맞추고 거듭제곱근을 분수 지수로 바꾸어 정리한다. 그래서 처음 질문의 \(2^{0.5} \times 2^{1.2}\)도 횟수를 세지 않고 \(2^{1.7}\)로 쓸 수 있다.