제곱-세제곱 법칙

개미는 건물 꼭대기에서 떨어져도 바닥에서 툭툭 털고 걸어간다. 생쥐도 꽤 높은 곳에서 떨어져 살아남지만, 사람은 크게 다치고 코끼리는 더 위험하다. 또 영화 속 거대한 개미나 거인은 실제로는 자기 몸무게를 버티지 못한다고 한다. 크기만 다를 뿐 모양이 같은 동물이라면 같은 일을 할 수 있을 것 같은데, 왜 크기가 이렇게 큰 차이를 만들까? 닮은 도형의 넓이와 부피가 커지는 빠르기를 비교해 보자.

1.8.1넓이와 부피가 다르게 자란다

닮은 두 도형의 길이의 비가 \(k\)이면 넓이의 비는 \(k^2\), 부피의 비는 \(k^3\)이다. 동물의 몸무게는 부피에 비례하지만, 뼈가 버티는 힘은 뼈의 단면의 넓이에, 공기가 떨어지는 몸을 붙잡는 힘은 몸의 겉넓이에 비례한다. 그래서 몸을 \(k\)배 키우면 무게는 \(k^3\)배가 되는데 버티는 힘과 공기의 저항은 \(k^2\)배밖에 늘지 않는다. 몸이 클수록 무게에 비해 버티는 힘과 붙잡는 힘이 모자라게 된다. 이것을 제곱-세제곱 법칙이라 한다.

떨어지는 동물은 공기 저항이 무게와 같아지는 종단 속도에 이르면 더 빨라지지 않는다. 공기 저항은 겉넓이와 속도의 제곱에 비례하므로, 무게 \(k^3\)과 같아지는 속도의 제곱은 \(k^3/k^2 = k\)에 비례한다. 개미는 아주 작아 종단 속도가 초속 몇 m에 불과하고, 바닥에 부딪힐 때의 충격도 작은 몸이 쉽게 견딘다. 반면 사람의 종단 속도는 초속 50 m를 넘는다. 그래서 같은 높이에서 떨어져도 작은 동물일수록 느리게 떨어지고 덜 다친다.¹

1.8.2작은 동물은 왜 많이 먹을까

제곱-세제곱 법칙은 체온에도 나타난다. 동물이 열을 잃는 것은 겉넓이를 통해서이고, 열을 만드는 것은 몸의 부피에 비례한다. 몸이 작을수록 부피에 비해 겉넓이가 커서 열을 빨리 잃는다. 그래서 생쥐나 벌새는 몸무게에 비해 아주 많이 먹어야 체온을 지키고, 추운 지역의 동물일수록 몸집이 큰 경향이 있다. 또 코끼리는 큰 귀로 겉넓이를 늘려 열을 내보내고, 다리는 몸에 비해 훨씬 굵다.

1.8.3예제 풀이

길이의 배율은 \(1700/5 = 340\)이다. 무게는 \(340^3 \approx 3.9\times10^7\)배, 다리 단면은 \(340^2 \approx 1.16\times10^5\)배이므로, 다리가 받는 압력은 \(340\)배가 된다.

원래 개미의 다리는 몸무게의 10배를 버틸 수 있으니, 압력이 340배가 되면 버틸 수 있는 하중은 몸무게의 \(10/340 \approx 0.03\)배, 곧 3%로 줄어든다. 그래서 거대 개미는 자기 몸무게조차 버티지 못하고 주저앉는다. 큰 동물이 다리가 굵고 몸에 비해 둔한 것은 이 때문이다. 즉 닮은 모양을 \(k\)배 키우면 무게는 \(k^3\)배, 버티는 힘은 \(k^2\)배여서 크기만으로도 몸의 능력이 크게 달라지며, 작은 동물이 떨어져도 덜 다치는 것도 같은 법칙의 결과이다.

아래 탐구 카드에서 몸길이를 개미에서 거인까지 바꾸며 무게, 뼈의 압력, 떨어지는 속도가 어떻게 변하는지 비교해 보자. 집에서는 한 변이 1 cm, 2 cm, 3 cm인 정육면체의 겉넓이와 부피를 계산해 겉넓이를 부피로 나눈 값을 비교하고, 작은 각설탕이 큰 덩어리보다 물에 빨리 녹는 까닭을 생각해 보자.

1. 이 법칙은 1638년 갈릴레이가 『새로운 두 과학』에서 큰 동물의 뼈가 몸에 비해 훨씬 굵어야 한다는 것을 보이며 처음 설명했다. 영국의 생물학자 홀데인은 1926년 수필 「알맞은 크기에 대하여」에서 같은 원리로 동물마다 알맞은 크기가 있다고 썼다.