거듭제곱과 거듭제곱근
본문제곱해서 4가 되는 실수는 2와 \(-2\) 두 개이다. 그렇다면 세제곱해서 8이 되는 실수, 네제곱해서 16이 되는 실수, 세제곱해서 \(-8\)이 되는 실수는 각각 몇 개일까? 지수가 홀수인지 짝수인지가 왜 답을 가를까?
1.1.1거듭제곱근의 뜻
중학교에서 제곱해서 \(a\)가 되는 수를 \(a\)의 제곱근이라 했다. 같은 생각을 세제곱, 네제곱으로 넓혀 보자. \(n\)이 2 이상의 자연수일 때, \(n\)제곱해서 실수 \(a\)가 되는 수, 곧 방정식 \(x^n = a\)의 근을 \(a\)의 \(n\)제곱근이라 한다. 제곱근, 세제곱근, 네제곱근을 통틀어 거듭제곱근이라 한다.
복소수 범위에서는 \(n\)차방정식이 근을 \(n\)개 가지므로 \(a\)의 \(n\)제곱근도 \(n\)개이다. 가령 8의 세제곱근은 \(x^3 = 8\), 곧 \((x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0\)의 근이므로 2와 \(-1 \pm \sqrt{3}i\) 세 개이다. 그런데 그 가운데 실수는 2 하나뿐이다. 이 단원에서 주로 다루는 것은 실수인 거듭제곱근이다.
1.1.2실수인 거듭제곱근은 그래프로
\(x^n = a\)의 실근은 \(y = x^n\)의 그래프와 직선 \(y = a\)가 만나는 점의 \(x\)좌표이다. 그림 1에서 \(n\)을 바꾸어 보자. \(n\)이 홀수이면 \(y = x^n\)은 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 계속 올라가는 곡선이어서, 직선 \(y = a\)와 언제나 한 번 만난다. \(n\)이 짝수이면 곡선이 \(y\)축에 대칭인 U자 모양이어서, \(a > 0\)이면 두 번, \(a = 0\)이면 한 번 만나고, \(a < 0\)이면 만나지 않는다.
| \(a > 0\) | \(a = 0\) | \(a < 0\) | |
|---|---|---|---|
| \(n\)이 홀수 | \(\sqrt[n]{a}\) | 0 | \(\sqrt[n]{a}\) |
| \(n\)이 짝수 | \(\sqrt[n]{a},\ -\sqrt[n]{a}\) | 0 | 없다 |
기호 \(\sqrt[n]{a}\)는 '\(n\)제곱근 \(a\)'라고 읽는다. \(n\)이 짝수이고 \(a > 0\)일 때 \(\sqrt[n]{a}\)는 두 실근 가운데 양수인 것을 뜻한다. 따라서 처음 질문에서 세제곱해서 8이 되는 실수는 \(\sqrt[3]{8} = 2\) 하나, 네제곱해서 16이 되는 실수는 \(\pm\sqrt[4]{16} = \pm 2\) 두 개, 세제곱해서 \(-8\)이 되는 실수는 \(\sqrt[3]{-8} = -2\) 하나이다.1
1.1.3거듭제곱근의 성질
\(a > 0\), \(b > 0\)이고 \(m\), \(n\)이 2 이상의 자연수일 때 다음이 성립한다.
\[\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab},\quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}},\quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m},\quad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}\]
첫째 성질은 정의로 확인한다. \(\left(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\right)^n = \left(\sqrt[n]{a}\right)^n\left(\sqrt[n]{b}\right)^n = ab\)이므로 \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\)는 \(n\)제곱해서 \(ab\)가 되는 양수이다. 즉 \(\sqrt[n]{ab}\)이다. 나머지 성질도 같은 방법으로 '\(n\)제곱해서 무엇이 되는가'를 따져 보이면 된다.
1.1.4예제 풀이
\(\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16}\)과 \(\sqrt[3]{\sqrt{64}} \times \sqrt[6]{4}\)를 간단히 하여라. 또 \(-27\)의 세제곱근 가운데 실수와 81의 네제곱근 가운데 실수를 모두 구하여라.
\(54 = 27 \times 2\)이므로 \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27}\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}\)이고, \(16 = 8 \times 2\)이므로 \(\sqrt[3]{16} = 2\sqrt[3]{2}\)이다. 따라서 \(\sqrt[3]{54} - \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2}\)이다. 제곱근에서 \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)로 정리하던 것과 같은 방법이다.
\(\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[6]{64} = 2\)이다. 그러면 \(2 \times \sqrt[6]{4}\)인데, \(\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3]{2}\)이므로 답은 \(2\sqrt[3]{2}\)이다. 마지막 단계는 \(\left(\sqrt[3]{2}\right)^6 = 4\)인 것으로 확인할 수 있다.
\(-27\)의 세제곱근 가운데 실수는 \(n = 3\)이 홀수이므로 하나이고, \(\sqrt[3]{-27} = -3\)이다. 81의 네제곱근 가운데 실수는 \(n = 4\)가 짝수이고 \(81 > 0\)이므로 둘이고, \(\pm\sqrt[4]{81} = \pm 3\)이다. 아래 탐구 카드에서 그래프와 직선을 움직이며 교점의 개수를 직접 확인해 보자.
- \(\sqrt[n]{a}\)를 실수로 정하는 것은 \(n\)이 홀수이거나, \(n\)이 짝수이고 \(a \ge 0\)일 때뿐이다. \(n\)이 짝수이고 \(a < 0\)이면 \(\sqrt[n]{a}\)를 실수로 정하지 않는다.
\(a\)의 \(n\)제곱근 가운데 실수는 \(y = x^n\)과 \(y = a\)의 교점으로 보이며, 홀수 거듭제곱은 그래프가 계속 올라가 실근이 언제나 하나이고, 짝수 거듭제곱은 U자 모양이라 양수에는 둘, 음수에는 없다. 그래서 처음 질문의 답은 각각 2 하나, \(\pm 2\) 둘, \(-2\) 하나이다.