지수의 확장

\(2^3\)은 2를 세 번 곱한 수이다. 그런데 \(2^0\), \(2^{-1}\), \(2^{1/2}\)은 '몇 번 곱한다'로는 뜻을 줄 수 없다. 그래도 수학에서는 이 값들을 1, \(\tfrac{1}{2}\), \(\sqrt{2}\)로 정한다. 왜 하필 이 값들일까? 정하는 기준은 무엇일까?

지수 \(x\) =

1.2.1규칙을 지키도록 정한다

\(2^1, 2^2, 2^3, 2^4\)은 2, 4, 8, 16이다. 지수가 1 늘 때마다 값이 2배가 되고, 거꾸로 지수가 1 줄 때마다 값이 반이 된다. 이 규칙을 지수 1에서 한 칸 더 내려가 보자. \(2^1 = 2\)의 반이므로 \(2^0 = 1\)이다. 다시 반으로 줄이면 \(2^{-1} = \tfrac{1}{2}\), \(2^{-2} = \tfrac{1}{4}\)이다.

이렇게 정하면 지수법칙 \(a^m a^n = a^{m+n}\)이 0과 음수에서도 그대로 성립한다. 가령 \(2^3 \times 2^{-3} = 2^0\)이어야 하는데, \(8 \times \tfrac{1}{8} = 1\)이므로 맞는다. 즉 새 지수의 값은 마음대로 정한 것이 아니라, 원래의 지수법칙이 깨지지 않도록 하나로 정해진 것이다.

1.2.2분수 지수

이번에는 계단 사이로 들어가 보자. \(2^{1/2}\)은 무엇이어야 할까? 지수법칙 \((a^m)^n = a^{mn}\)이 성립하려면 \(\left(2^{1/2}\right)^2 = 2^1 = 2\)여야 한다. 따라서 \(2^{1/2}\)은 제곱해서 2가 되는 양수, 곧 \(\sqrt{2}\)이다. 같은 이유로 \(2^{1/3} = \sqrt[3]{2}\)이고, \(8^{2/3} = \left(8^{1/3}\right)^2 = 2^2 = 4\)이다.

여기서 밑이 양수라는 조건이 붙는 까닭이 있다. 밑이 음수이면 같은 수를 다르게 쓴 지수가 다른 값을 줄 수 있다. 가령 \(\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{6}\)인데 \((-8)^{1/3} = -2\)로, \((-8)^{2/6} = \sqrt[6]{64} = 2\)로 계산되어 모순이 생긴다.¹

1.2.3무리수 지수

\(2^{\sqrt{2}}\)처럼 지수가 무리수이면 분수로 쓸 수도 없다. 그런데 \(\sqrt{2} = 1.414\ldots\)에 가까워지는 유리수 1.4, 1.41, 1.414, …를 지수로 넣으면 \(2^{1.4}, 2^{1.41}, 2^{1.414}, \ldots\)이 한 값에 점점 가까워진다. 그 값을 \(2^{\sqrt{2}}\)로 정한다(약 2.665). 이렇게 하면 지수는 모든 실수로 넓어지고, 그래프 \(y = 2^x\)는 끊김 없는 곡선이 된다.

1.2.4예제 풀이

\(16 = 2^4\)이므로 \(16^{-3/4} = (2^4)^{-3/4} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)이다. 밑을 소수의 거듭제곱으로 바꾸면 지수의 곱셈만 남는다.

\(\tfrac{1}{27} = 3^{-3}\)이므로 \(\left(\tfrac{1}{27}\right)^{-2/3} = (3^{-3})^{-2/3} = 3^2 = 9\)이다. 음수 지수가 두 번 나와 부호가 상쇄되었다.

\(5^0 = 1\)이고 \(4^{-1/2} = \dfrac{1}{4^{1/2}} = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(5^0 + 4^{-1/2} = \dfrac{3}{2}\)이다. 세 계산 모두 정의를 외워서가 아니라 '지수법칙이 성립하도록'이라는 한 가지 원리로 풀렸다. 아래 탐구 카드에서 지수를 0과 음수, 분수로 움직이며 값이 어떻게 이어지는지 직접 확인해 보자.

1. 그래서 유리수 지수와 실수 지수는 밑이 양수일 때만 정한다. 정수 지수는 밑이 음수여도 \((-2)^3 = -8\)처럼 문제없이 정해진다.