평균율과 2의 12제곱근

피아노의 라(A4) 음은 1초에 440번 떨리고, 한 옥타브 위의 라(A5)는 880번 떨린다. 진동수가 정확히 두 배이면 두 음은 같은 음처럼 어울려 들린다. 이 한 옥타브 사이에 흰 건반과 검은 건반을 합쳐 12개의 반음이 있다. 반음 하나를 올라갈 때마다 진동수는 같은 비율로 커지는데, 그 비율은 약 1.0595라고 한다. 이 수는 어디서 나왔을까? 그리고 이렇게 나눈 음계에는 어떤 대가가 따를까?

1.5.1귀는 비율을 듣는다

사람의 귀는 진동수의 차가 아니라 비를 음 높이의 간격으로 느낀다. 220 Hz에서 440 Hz로 올라가는 것과 440 Hz에서 880 Hz로 올라가는 것은 진동수의 차는 다르지만 모두 한 옥타브로 들린다. 그래서 한 옥타브를 12개의 같은 간격으로 나누려면 진동수를 같은 비율로 12번 곱해 2가 되게 해야 한다. 반음의 비율을 \(r\)이라 하면 \(r^{12} = 2\)이므로 \(r = 2^{1/12}\)이다. 이렇게 나눈 음계를 12평균율이라 한다.

그런데 잘 어울리는 화음은 진동수의 비가 간단한 정수비일 때 생긴다. 완전5도는 \(3 : 2\), 장3도는 \(5 : 4\)이다. 평균율의 완전5도는 반음 7개이므로 \(2^{7/12} \approx 1.4983\)으로 1.5보다 0.1%쯤 작고, 장3도는 \(2^{4/12} \approx 1.2599\)로 1.25보다 0.8%쯤 크다. \(2^{1/12}\)은 무리수여서 어떤 정수비와도 정확히 같아질 수 없다. 그래서 평균율은 모든 화음을 조금씩 틀리게 하는 대신, 어느 조로 옮겨 연주해도 똑같이 들리게 한다.¹

1.5.25도를 12번 쌓으면

평균율이 나오기 전에는 완전5도 \(3/2\)를 거듭 쌓아 음계를 만들었다. 그런데 5도를 12번 쌓으면 7옥타브 위로 돌아와야 할 텐데, \((3/2)^{12} \approx 129.75\)는 \(2^7 = 128\)과 조금 다르다. 이 차이 약 1.4%를 피타고라스 콤마라 한다. 2와 3의 거듭제곱은 절대 같아질 수 없으므로, 순수한 5도만으로는 음계가 닫히지 않는다. 평균율은 이 어긋남을 12개의 5도에 고르게 나누어, 각 5도를 아주 조금씩 좁혀 해결한 것이다.

1.5.3예제 풀이

도의 진동수는 \(440\times2^{3/12} = 440\times2^{1/4} \approx 440\times1.18921 \approx 523.25\) Hz이다. 반음 하나를 올릴 때마다 약 5.9%씩 높아진다.

순수한 5도를 반음 단위로 나타내면 \(12\log_2 1.5 \approx 12\times0.58496 \approx 7.0196\)반음, 곧 701.96센트이다. 평균율의 5도는 정확히 700센트이므로 약 1.96센트 좁다. 사람의 귀가 겨우 구별할 수 있는 차이가 5센트쯤이어서, 평균율의 5도는 거의 순수하게 들린다. 즉 귀가 진동수의 비로 음 높이를 느끼므로 한 옥타브를 같은 비율로 12번 나누면 반음이 \(2^{1/12}\)가 되고, 이 무리수 비율은 간단한 정수비의 화음을 조금씩 틀리게 하는 대신 모든 조를 똑같이 쓸 수 있게 한다.

아래 탐구 카드에서 건반을 눌러 평균율과 순정률의 화음을 직접 들어 비교해 보자. 집에서는 휴대폰의 조율 앱으로 피아노나 기타의 음을 하나씩 재어, 반음마다 진동수가 약 1.06배씩 커지는지 확인해 보자.

1. 12평균율의 계산은 16세기 말 중국 명나라의 주재육과 네덜란드의 스테빈이 거의 같은 무렵 따로 해냈다. 바흐의 『평균율 클라비어곡집』은 모든 조로 작곡된 곡을 모은 것인데, 바흐가 쓴 조율이 오늘날의 정확한 평균율이었는지는 지금도 논쟁이 있다.