삼각함수의 여러 가지 공식

음악실의 소리굽쇠 두 개를 함께 두드렸다. 하나는 440 Hz, 다른 하나는 444 Hz로 거의 같은 높이인데, 둘을 함께 울리니 소리가 커졌다 작아지기를 1초에 네 번씩 되풀이했다. 두 소리는 각각 \(\sin(2\pi\cdot440t)\)와 \(\sin(2\pi\cdot444t)\)로 나타낼 수 있고, 함께 울린 소리는 두 식의 합이다. 사인 두 개를 더한 식에서 1초에 네 번이라는 박자가 어떻게 나올까? 그리고 그런 식을 바꾸는 공식은 어디서 나올까?

1.1.1공식 하나를 증명해 두면

단위원 위의 두 점 \(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\), \(Q(\cos\beta, \sin\beta)\) 사이의 거리를 두 가지로 구해 보자. 두 점 사이의 거리 공식으로 계산하면 \(PQ^2 = (\cos\alpha - \cos\beta)^2 + (\sin\alpha - \sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\)이다. 한편 두 점을 함께 \(\beta\)만큼 돌리면 \(Q\)는 \((1, 0)\)으로, \(P\)는 \((\cos(\alpha - \beta), \sin(\alpha - \beta))\)로 가고 거리는 그대로이다. 이 거리의 제곱은 \(2 - 2\cos(\alpha - \beta)\)이므로, 두 식을 같다고 놓으면 코사인의 덧셈정리가 나온다.

배각 공식을 고쳐 쓰면 \(\cos^2\alpha = \tfrac12(1 + \cos 2\alpha)\)이다. 그래서 \(\cos^2 x\)의 그래프는 코사인 곡선을 세로로 절반 줄이고 위로 \(\tfrac12\) 올린 뒤 가로로 절반 줄인 모양이다. 제곱이 들어간 식을 제곱이 없는 식으로 바꾸어 주므로, 적분을 계산할 때 자주 쓴다. 이렇게 공식 하나만 증명해 두면 나머지는 대입과 덧셈으로 모두 꺼낼 수 있다.¹

1.1.2합이 곱으로 바뀌면 보이는 것

합을 곱으로 바꾸는 공식은 진동수가 비슷한 두 파동의 합을 이해하는 데 쓰인다. \(A\)와 \(B\)가 거의 같으면 \(\sin\frac{A + B}{2}\)는 원래 소리와 거의 같은 빠른 떨림이고, \(\cos\frac{A - B}{2}\)는 아주 느리게 변하는 인자이다. 그래서 합한 소리는 빠른 떨림의 크기가 느린 코사인을 따라 커졌다 작아지는 모양이 되며, 이것이 맥놀이이다. 소리의 세기는 진폭의 크기로 느끼므로, 느린 코사인이 한 번 오르내리는 동안 소리는 두 번 커진다.

1.1.3예제 풀이

\(\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \cos45°\cos30° + \sin45°\sin30° = \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12 = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} \approx 0.966\)이다.

합을 곱으로 바꾸면 \(2\sin(2\pi\cdot442t)\cos(2\pi\cdot2t)\)이다. 앞의 인자는 442 Hz로 떨리는 소리이고, 뒤의 인자 \(\cos(2\pi\cdot2t)\)는 1초에 2번 오르내린다. 그런데 소리의 크기는 이 인자의 절댓값을 따르므로, \(|\cos(2\pi\cdot2t)|\)가 1이 되는 순간은 1초에 4번이다. 그래서 두 소리굽쇠의 진동수 차 4 Hz만큼 1초에 네 번 웅웅거린다. 즉 덧셈정리에서 꺼낸 합을 곱으로 바꾸는 공식은 비슷한 두 떨림의 합을 빠른 떨림과 느린 변화로 나누어 보여 주어, 맥놀이의 박자가 진동수의 차와 같다는 것을 알려 준다.

아래 탐구 카드에서 단위원 위 두 점의 거리로 덧셈정리를 직접 증명하고, 두 소리의 진동수를 바꾸며 맥놀이의 박자를 확인해 보자.

1. 16세기 천문학자들은 큰 수의 곱셈을 하기 위해 \(\cos\alpha\cos\beta = \tfrac12[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)]\)를 썼다. 곱셈을 삼각함수표 읽기와 덧셈으로 바꾸는 이 방법은 몇십 년 뒤 로그가 발명될 때까지 널리 쓰였다.