삼각함수의 덧셈정리

\(\sin x\)의 그래프와 \(\cos x\)의 그래프는 모양이 같고 옆으로 \(\dfrac{\pi}{2}\)만큼 어긋나 있다. 두 그래프의 높이를 더한 \(\sin x + \cos x\)는 어떤 모양일까? 울퉁불퉁한 새 모양이 될까, 아니면 다시 깔끔한 사인 곡선이 될까? 이를 알려면 \(\sin(\alpha + \beta)\)를 \(\alpha\), \(\beta\)의 삼각함수로 나타내는 방법이 필요하다.

\(a\)

\(b\)

2.2.1덧셈정리

단위원 위에 각 \(\alpha\), \(\beta\)인 점 \(P(\cos\alpha, \sin\alpha)\), \(Q(\cos\beta, \sin\beta)\)를 잡자. 두 점 사이의 거리를 좌표로 계산하면 \(\overline{PQ}^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)\)이다. 한편 원점에서 본 사잇각이 \(\alpha - \beta\)이므로, 같은 거리를 \(Q\)를 \((1, 0)\)으로 돌려 놓고 계산하면 \(2 - 2\cos(\alpha - \beta)\)이다. 두 값이 같으므로 \(\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)이다.

나머지 식은 \(\beta\)를 \(-\beta\)로 바꾸고, \(\sin\theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\)를 쓰면 차례로 얻는다. \(\beta = \alpha\)로 놓으면 \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\)인 배각 공식이 된다.¹

2.2.2삼각함수의 합성

덧셈정리를 거꾸로 쓰면 \(a\sin x + b\cos x\)를 하나의 사인함수로 묶을 수 있다. 좌표평면의 점 \((a, b)\)까지의 거리를 \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\), 그 방향각을 \(\alpha\)라 하면 \(a = R\cos\alpha\), \(b = R\sin\alpha\)이다. 그러면 \[a\sin x + b\cos x = R(\sin x\cos\alpha + \cos x\sin\alpha) = R\sin(x + \alpha)\] 가 된다.

그림 1에서 \(a\)와 \(b\)를 바꾸어 보면 합은 언제나 매끈한 사인 곡선이고, 진폭과 위치만 달라진다. 소리나 전류처럼 진동수가 같은 두 파동이 겹치면 진동수가 같은 하나의 파동이 되는 까닭이 이것이다.

2.2.3예제 풀이

\(\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0.966\)이다.

\(R = \sqrt{3 + 1} = 2\)이고 \(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\)이므로 \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}\)이다. 따라서 \(y = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)\)이고 최댓값은 2, 최솟값은 \(-2\)이다. 최댓값은 \(x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\), 곧 \(x = \dfrac{\pi}{3}\)일 때이다.

아래 탐구 카드에서 단위원으로 덧셈정리를 확인하고, 두 직선이 이루는 각과 삼각함수의 합성을 직접 다루어 보자.

1. 두 직선의 기울기가 \(m_1 = \tan\alpha\), \(m_2 = \tan\beta\)이면 두 직선이 이루는 예각 \(\theta\)에 대하여 \(\tan\theta = \left|\dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\)이다. 탄젠트의 덧셈정리를 그대로 쓴 것이다.