일반각과 호도법
본문시계의 분침이 두 바퀴 돌면 몇 도 돈 것일까? 0°일까, 720°일까? 또 각도를 왜 하필 한 바퀴를 360으로 나눈 '도'로 재야 할까? 반지름과 호의 길이만으로 각을 재는 방법은 없을까?
2.1.1일반각
중학교에서 각은 0°부터 180° 사이의 도형의 크기였다. 그런데 바퀴나 시곗바늘처럼 도는 것을 다루려면 각을 '얼마나 돌았는가'로 넓혀야 한다. 고정된 반직선 \(OX\)(시초선)에서 출발해 반직선 \(OP\)(동경)가 \(O\)를 중심으로 돈 양을 각으로 본다. 시곗바늘과 반대 방향을 양의 방향, 같은 방향을 음의 방향으로 정한다.
그러면 분침이 두 바퀴 돈 것은 720°이고, 한 바퀴 반 거꾸로 돈 것은 \(-540^\circ\)이다. 그런데 동경의 위치만 보면 720°와 0°, 390°와 30°는 같은 자리이다. 그래서 동경의 위치가 같은 각들을 한꺼번에 나타내는 방법이 필요하다.
동경 \(OP\)가 나타내는 한 각의 크기를 \(\alpha^\circ\)라 하면, 동경 \(OP\)가 나타내는 각은 \(360^\circ \times n + \alpha^\circ\ (n\text{은 정수})\)이고, 이것을 동경 \(OP\)의 일반각이라 한다.
2.1.2호도법
한 바퀴를 360으로 나눈 것은 자연이 정해 준 값이 아니라 사람이 고른 눈금이다. 360은 약수가 24개나 되어 반, 3분의 1, 4분의 1, 6분의 1, 8분의 1 바퀴가 모두 자연수로 떨어지고, 정삼각형의 한 각도 60°로 깔끔하다. 계산하기 편하라고 고른 눈금이지만, 그 대신 각의 크기가 원의 길이와는 아무 관계가 없는 수가 된다. 그래서 원이 스스로 가진 길이, 곧 반지름과 호의 길이만으로 각을 재는 방법을 생각해 보자.
반지름이 \(r\)인 원에서 중심각 \(\theta\)인 부채꼴의 호의 길이는 \(\theta\)에 비례한다. 반지름을 두 배로 하면 호의 길이도 두 배가 되므로, 호의 길이를 반지름으로 나눈 값 \(\dfrac{l}{r}\)은 원의 크기와 상관없이 각에만 달려 있다. 이 비를 각의 크기로 쓰는 것이 호도법이다.
반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기를 1라디안이라 한다. 반지름이 \(r\)인 원에서 호의 길이가 \(l\)인 부채꼴의 중심각은 \(\theta = \dfrac{l}{r}\)라디안이다.
한 바퀴의 호, 곧 원주는 \(2\pi r\)이므로 한 바퀴는 \(\dfrac{2\pi r}{r} = 2\pi\)라디안이다. 따라서 \(360^\circ = 2\pi\), \(180^\circ = \pi\)이고, \(1\)라디안 \(= \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 57.3^\circ\)이다. 그림 1의 슬라이더로 각을 바꾸어 보면, 반지름 1인 원에서 호의 길이가 곧 라디안 값이다. 라디안을 쓸 때는 단위를 보통 생략한다.1
호도법을 쓰면 부채꼴의 공식이 간단해진다. 호의 길이는 \(l = r\theta\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2}r^2\theta = \dfrac{1}{2}rl\)이다. 도로 쓸 때의 \(\dfrac{\theta}{360}\)을 곱하는 번거로움이 사라진다.
라디안의 좋은 점은 각이 작을 때 더 잘 드러난다. 반지름 1인 원에서 중심각이 아주 작으면 호는 거의 곧은 선분이 되어, 호의 길이 \(\theta\)와 동경 끝의 높이 \(\sin\theta\)가 거의 같아진다. 실제로 \(\sin 0.1 \approx 0.0998\)이다. 같은 각을 도로 쓰면 약 5.73°인데, \(\sin 5.73^\circ \approx 0.0998\)은 5.73과 전혀 가깝지 않아서 둘을 비교하려면 \(\dfrac{\pi}{180}\)을 곱하는 수고가 따른다. 각을 길이로 재었기 때문에 각과 길이를 바로 비교할 수 있는 것이다.
2.1.3예제 풀이
\(1000^\circ\)와 \(-200^\circ\)는 각각 몇 사분면의 각인가? 또 반지름이 6이고 중심각이 \(\dfrac{2\pi}{3}\)인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.
\(1000^\circ = 360^\circ \times 2 + 280^\circ\)이므로 동경은 \(280^\circ\)와 같은 자리이고, 제4사분면의 각이다. \(-200^\circ = 360^\circ \times (-1) + 160^\circ\)이므로 제2사분면의 각이다. 일반각에서 \(360^\circ\)의 배수를 떼어 내면 0°와 360° 사이의 각 하나로 위치를 읽을 수 있다.
부채꼴의 호의 길이는 \(l = r\theta = 6 \times \dfrac{2\pi}{3} = 4\pi\)이고, 넓이는 \(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4\pi = 12\pi\)이다.
도로 확인하면 \(\dfrac{2\pi}{3} = 120^\circ\)이므로 호의 길이는 \(2\pi \times 6 \times \dfrac{120}{360} = 4\pi\)로 같다. 아래 탐구 카드에서 동경을 여러 바퀴 돌리고, 원의 크기를 바꾸며 라디안이 변하지 않는지 직접 확인해 보자.
- 라디안은 길이를 길이로 나눈 비율이라 단위가 없는 수이다. 그래서 \(\sin x\)를 다항식처럼 다루거나 미분할 때 라디안을 쓰면 식이 가장 간단해진다.
일반각은 동경이 돈 양을 방향과 바퀴 수까지 포함해 나타내므로, 같은 위치의 각은 \(360^\circ\)의 정수배만큼씩 다르다. 호도법은 반지름에 대한 호의 길이의 비로 각을 재어, 한 바퀴가 \(2\pi\)라디안이 된다. 그래서 처음 질문의 분침이 두 바퀴 돈 각은 \(720^\circ\), 곧 \(4\pi\)라디안이고, 동경의 위치는 0°와 같다.