극좌표

평면 위의 점은 \((x, y)\) 말고도 "원점에서 얼마나 멀리, 어느 방향으로"라는 두 수로 나타낼 수 있습니다. 이것이 극좌표 \((r, \theta)\)입니다. 레이더, 항해, 로봇 팔처럼 한 점을 중심으로 돌며 재는 곳에서는 극좌표가 더 자연스럽습니다. 이 절에서는 레이더 화면에서 극좌표로 목표를 찾고, 극좌표와 직교좌표를 오가며 바꿀 때 틀리기 쉬운 곳을 찾습니다.

먼저 알면 좋은 것 일반각과 호도법 삼각함수의 뜻 원의 방정식

본문

극좌표

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공항 레이더는 안테나를 돌리며 전파를 쏘아, 되돌아온 시간으로 비행기까지의 거리를, 안테나의 방향으로 비행기의 방향을 잰다. 그래서 레이더 화면은 가운데에서 몇 km, 북쪽에서 몇 도라는 두 수로 비행기를 나타낸다. 한 비행기가 레이더에서 동쪽으로 \(-1\) km, 북쪽으로 \(-\sqrt3\) km인 곳에 있다고 하자. 계산기로 \(\tan^{-1}(y/x) = \tan^{-1}\sqrt3\)을 구하면 60°가 나오는데, 이 비행기는 정말 60° 방향에 있을까?

그림 1. \(\tan\theta\)가 같은 각은 두 개이므로, 점이 있는 사분면을 보고 각을 골라야 한다. 각은 동쪽에서 시계 반대 방향으로 잰다.

먼저 알아야 할 것일반각과 호도법, 삼각함수의 뜻, 원의 방정식, 역삼각함수의 치역.

2.1.1거리와 방향으로 적는 좌표

평면 위의 한 점 \(O\)를 극으로, \(O\)에서 오른쪽으로 뻗은 반직선을 시초선으로 정하자. 점 \(P\)의 위치는 \(O\)에서 \(P\)까지의 거리 \(r\)과, 시초선에서 \(OP\)까지 시계 반대 방향으로 잰 각 \(\theta\)로 나타낼 수 있다. 이 \((r, \theta)\)가 극좌표이다. 레이더나 소리의 방향처럼 한 점을 중심으로 퍼져 나가는 현상은 극좌표로 쓰면 간단해진다. 예를 들어 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원은 직교좌표로 \(x^2 + y^2 = 4\)이지만 극좌표로는 \(r = 2\) 한 줄이다.

정리 2.1.1 극좌표와 직교좌표

극좌표 \((r, \theta)\)인 점의 직교좌표는 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)이다. 거꾸로 \[r = \sqrt{x^2 + y^2},\qquad \cos\theta = \frac{x}{r},\ \ \sin\theta = \frac{y}{r}\]이다. \(\tan\theta = y/x\)만으로는 \(\theta\)와 \(\theta + \pi\)를 구별할 수 없으므로, 점이 있는 사분면으로 각을 정한다.

극좌표는 한 점을 나타내는 방법이 여러 가지이다. \((2, 60°)\)과 \((2, 420°)\)는 같은 점이고, \(r\)이 음수인 것을 허용하면 \((-2, 240°)\)도 \(240°\) 방향의 반대쪽으로 2만큼 간 같은 점이다. 그래서 극좌표로 나타낸 두 식을 비교하거나 교점을 구할 때는 같은 점이 다른 좌표로 나타날 수 있음을 염두에 두어야 한다. 반면 직교좌표는 한 점에 한 쌍의 좌표만 대응한다.¹

2.1.2계산기의 각이 틀리는 까닭

\(\tan^{-1}\)은 \(-90°\)부터 \(90°\) 사이의 각만 돌려주므로, \(x < 0\)인 제2, 제3사분면의 점에서는 실제 각과 \(180°\)만큼 어긋난다. \((-1, -\sqrt3)\)은 \(y/x = \sqrt3\)이어서 \(\tan^{-1}\)이 60°를 주지만, 60° 방향의 점은 \((1, \sqrt3)\)으로 정반대에 있다. 실제 각은 \(\cos\theta = -1/2\), \(\sin\theta = -\sqrt3/2\)을 함께 만족하는 \(240°\)이다. 그래서 프로그래밍 언어에는 \(x\)와 \(y\)의 부호를 함께 보고 각을 돌려주는 함수가 따로 있다.

그림 2. \(x < 0\)인 점에서는 \(\tan^{-1}(y/x)\)에 \(180°\)를 더해야 실제 각이 된다.

2.1.3예제 풀이

예제 2.1.2

처음 질문의 비행기 위치 \((-1, -\sqrt3)\)을 극좌표로 나타내어라. 또 직교좌표의 방정식 \(x^2 + y^2 = 4x\)를 극방정식으로 바꾸고, 어떤 도형인지 말하여라.

\(r = \sqrt{1 + 3} = 2\)이고, \(\cos\theta = -1/2\), \(\sin\theta = -\sqrt3/2\)이므로 \(\theta = 240° = 4\pi/3\)이다. 그래서 비행기는 레이더에서 2 km 떨어진 \(240°\) 방향에 있다. 계산기의 60°를 그대로 쓰면 정반대 방향을 가리키게 된다.

\(x^2 + y^2 = r^2\), \(x = r\cos\theta\)를 넣으면 \(r^2 = 4r\cos\theta\)이고, \(r \ne 0\)이면 \(r = 4\cos\theta\)이다. \(r = 0\)인 극도 \(\theta = \pi/2\)일 때 이 식에 포함된다. 직교좌표로 정리하면 \((x - 2)^2 + y^2 = 4\)로, 중심 \((2, 0)\), 반지름 2인 원이다. 그래서 극을 지나는 원은 극방정식이 \(r = 4\cos\theta\)처럼 간단해진다. 즉 극좌표는 거리와 방향으로 점을 나타내어 한 점을 중심으로 한 현상을 간단히 쓰게 해 주지만, 각을 구할 때는 사분면을 확인해야 한다.

아래 탐구 카드에서 레이더 화면의 점을 극좌표와 직교좌표로 바꾸어 보고, \(\tan^{-1}(y/x)\)로 각을 구한 풀이가 언제 틀리는지 찾아보자.

극좌표는 17세기에 뉴턴과 야코프 베르누이가 나선과 같은 곡선을 다루며 썼다. 오늘날 항공 관제와 선박 항해에서도 레이더의 거리와 방위각을 그대로 써서 위치를 알린다.

마무리

극좌표 \((r, \theta)\)는 극에서의 거리와 시초선에서 잰 각으로 점을 나타내며, \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)로 직교좌표와 바뀐다. \(\tan\theta = y/x\)만으로는 각이 두 개이므로 사분면으로 골라야 하고, 한 점이 여러 극좌표로 나타날 수 있다. 처음 질문의 비행기는 60°가 아니라 2 km 떨어진 \(240°\) 방향에 있다.

탐구 1

레이더는 왜 \((x, y)\) 대신 거리와 방향으로 위치를 알려 줄까?

극좌표 · 도전

문제: 1 / 6
누른 곳과의 거리: —
직교좌표 \((x, y)\): ?

동심원 한 칸은 1, 방사선 한 칸은 \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\)이다. 목표에서 0.3 안쪽을 누르면 맞힌 것으로 친다.

질문레이더는 안테나를 돌리며 전파를 쏘고, 되돌아오는 데 걸린 시간으로 거리를 잰다. 그러니 레이더가 바로 아는 것은 "어느 방향으로 얼마나 멀리"이다. 이 두 수로 평면의 점을 나타내는 방법이 있을까?
복원호도법에서 \(\pi = 180^\circ\)이다. 반지름 \(r\)인 원 위에서 각 \(\theta\)인 점의 좌표는 \((r\cos\theta, r\sin\theta)\)이다.
설명원점 O(극)와 O에서 오른쪽으로 그은 반직선(시초선)을 정하면, 점 P는 \(r = \overline{\mathrm{OP}}\)와 시초선에서 OP까지 잰 각 \(\theta\)로 정해진다. \((r, \theta)\)를 점 P의 극좌표라고 한다. 직교좌표와는 \[x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta\]이고, 거꾸로 \(r^2 = x^2 + y^2\), \(\tan\theta = \frac{y}{x}\ (x \ne 0)\)이다. 약속에 따라 \(r < 0\)이면 \(\theta\) 방향의 반대쪽으로 \(|r|\)만큼 간 점을 뜻한다.
연결직교좌표에서는 한 점의 좌표가 하나뿐이지만, 극좌표에서는 \((r, \theta)\), \((r, \theta + 2\pi)\), \((-r, \theta + \pi)\)가 모두 같은 점이다. 원, 장미, 나선처럼 극을 중심으로 도는 곡선은 극좌표로 쓰면 식이 아주 간단해진다.
적용여섯 목표를 차례로 눌러 보자. 뒤쪽 목표에는 음의 \(r\)이나 \(2\pi\)보다 큰 각이 나온다. 맞히면 직교좌표가 나타난다. 직교좌표로 바꾼 값이 그림의 위치와 맞는가?
판단극 O 자체는 \(r = 0\)이기만 하면 \(\theta\)가 무엇이든 같은 점이다. 그래서 극에서는 각이 정해지지 않는다. 레이더 화면의 가운데에서 방향을 말할 수 없는 것과 같다.

확인조건이 달라지면

극좌표가 \(\left(-2, \frac{\pi}{3}\right)\)인 점의 직교좌표는?

탐구 2

\(\theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}\)로 각을 구한 이 풀이, 맞을까?

극좌표와 직교좌표 · 오류 찾기

처음 틀린 줄을 누르세요. 틀린 곳이 없으면 마지막 줄을 누르세요. 초록은 문제, 주황은 풀이의 답입니다.

점 \((-1, -\sqrt{3})\)을 극좌표로 나타낸다. \(r = \sqrt{1 + 3} = 2\)이다.맞습니다.
\(\tan\theta = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}\)이므로 \(\theta = \frac{\pi}{3}\)이다.여기가 틀렸습니다. \(\tan\theta = \sqrt{3}\)인 각은 \(\frac{\pi}{3}\)과 \(\frac{4\pi}{3}\) 두 가지입니다. 점이 제3사분면에 있으므로 \(\theta = \frac{4\pi}{3}\)입니다. \(\tan^{-1}\)은 언제나 \(-\frac{\pi}{2}\)와 \(\frac{\pi}{2}\) 사이의 값만 줍니다.
따라서 극좌표는 \(\left(2, \frac{\pi}{3}\right)\)이다.앞 줄을 이어받았습니다. 이 점은 \((1, \sqrt{3})\)으로, 원래 점의 반대쪽입니다.
이 풀이에는 틀린 곳이 없다.그림에서 두 점의 위치를 비교하세요.

질문직교좌표를 극좌표로 바꿀 때 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\), \(\theta = \tan^{-1}\frac{y}{x}\)로 계산하면 될까? 계산기도 이렇게 하라고 알려 주는 것 같다.
복원\(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(r^2 = x^2 + y^2\). \(\tan\theta\)는 주기가 \(\pi\)인 함수라, 같은 \(\tan\) 값을 갖는 각이 \(0 \le \theta < 2\pi\)에 두 개 있다.
설명\(\tan\theta = \frac{y}{x}\)는 각의 후보를 두 개로 좁혀 줄 뿐이다. 점이 몇 사분면에 있는지 보고 하나를 골라야 한다(풀이 1). \(x = 0\)이면 이 식을 쓸 수 없지만 각은 \(\frac{\pi}{2}\)나 \(\frac{3\pi}{2}\)로 정해진다(풀이 2). 극방정식을 직교좌표로 바꿀 때는 \(\cos\theta = \frac{x}{r}\)이므로 양변에 \(r\)을 곱해 \(r\cos\theta\) 꼴을 만드는 것이 요령이다(풀이 4).
연결프로그래밍 언어의 \(\operatorname{atan2}(y, x)\) 함수는 \(x\), \(y\)의 부호를 함께 보고 사분면까지 맞는 각을 돌려준다. \(\tan^{-1}\frac{y}{x}\)가 사분면을 잃어버리는 문제를 해결하려고 만든 함수이다.
적용네 풀이에서 처음 틀린 줄을 찾자. 풀이 1의 답은 원래 점과 어떤 관계인가? 풀이 3에서 음의 \(r\)이 나왔는데도 맞는 까닭은 무엇인가?
판단극방정식 양변에 \(r\)을 곱하면 극(\(r = 0\))이 새 해로 끼어들 수 있다. \(r = 2\cos\theta\)는 이미 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)에서 극을 지나므로 괜찮지만, 다른 식에서는 극이 원래 곡선 위에 있는지 따로 확인해야 한다.

확인조건이 달라지면

점 \((-\sqrt{3}, 1)\)의 극좌표 \((r, \theta)\)는? (\(r > 0\), \(0 \le \theta < 2\pi\))

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