극곡선의 대칭성과 그래프

가수가 쓰는 무대용 마이크는 앞에서 오는 노래는 잘 받지만, 뒤쪽에 놓인 스피커 소리는 거의 받지 않는다. 마이크 설명서에는 소리를 받는 세기를 방향에 따라 그린 하트 모양의 그림이 있고, 그 모양을 극방정식 \(r = 1 + \cos\theta\)로 나타낸다. 이 곡선은 \(\theta = 180°\)에서 \(r = 0\)이 된다. 극방정식의 그래프는 어떻게 그리고, 그 모양에서 마이크가 옆에서 오는 소리를 앞쪽의 몇 배로 받는지 읽을 수 있을까?

2.2.1각을 돌리며 거리를 찍다

극방정식 \(r = f(\theta)\)의 그래프는 \(\theta\)를 0부터 조금씩 늘려 가며, 그 방향으로 \(f(\theta)\)만큼 떨어진 점을 찍어 잇는다. 먼저 직교좌표에 \(r = f(\theta)\)를 보통 함수처럼 그려 두면, \(r\)이 어느 각에서 가장 크고 어디서 0이 되는지 한눈에 보인다. 그다음 그 값을 방향마다 옮기면 된다. \(r = 1 + \cos\theta\)는 \(\theta = 0\)에서 2로 가장 크고, \(\theta = \pi/2\)에서 1, \(\theta = \pi\)에서 0이 되므로 오른쪽으로 불룩하고 왼쪽 끝이 극에서 뾰족한 하트 모양이 된다. 이 곡선을 카디오이드라 한다.

\(\cos(-\theta) = \cos\theta\)이므로 카디오이드는 시초선에 대해 대칭이고, 그래서 \(0\)부터 \(\pi\)까지만 그린 뒤 위아래로 뒤집어 붙이면 된다. 장미곡선은 \(r\)이 음수가 되는 구간에서 점이 반대 방향에 찍힌다. \(k\)가 짝수이면 음수 구간의 꽃잎이 양수 구간의 꽃잎 사이에 새로 생겨 \(2k\)장이 되고, 홀수이면 음수 구간의 꽃잎이 이미 있는 꽃잎과 겹쳐 \(k\)장으로 남는다. 대칭성을 먼저 확인하면 그릴 부분이 크게 줄어든다.¹

2.2.2방향마다 받는 세기

마이크의 방향 특성 그림에서 \(r\)은 그 방향에서 온 소리를 받는 세기이다. 사방에서 고르게 받는 마이크는 \(r = 1\)인 원이고, 앞뒤로만 받는 마이크는 \(r = |\cos\theta|\)인 8자 모양이다. 무대용 마이크는 이 둘을 더한 \(r = \tfrac12(1 + \cos\theta)\)처럼 설계해, 앞에서는 둘이 더해져 크고 뒤에서는 서로 지워져 0이 되게 한다. 그래서 가수가 뒤쪽 스피커를 마주 보고 노래해도 스피커 소리가 다시 마이크로 들어가 생기는 '삐' 소리가 줄어든다.

2.2.3예제 풀이

\(1 + \cos(-\theta) = 1 + \cos\theta\)이므로 \(\theta\)를 \(-\theta\)로 바꾸어도 식이 같아 시초선에 대해 대칭이다. 각 점은 \(\theta = 0\)에서 \(r = 2\)로 \((2, 0)\), \(\pi/3\)에서 \(r = 1.5\)로 \((0.75, 1.30)\), \(\pi/2\)에서 \(r = 1\)로 \((0, 1)\), \(2\pi/3\)에서 \(r = 0.5\)로 \((-0.25, 0.43)\), \(\pi\)에서 \(r = 0\)으로 극이다. 이 점들을 잇고 시초선 아래로 뒤집어 붙이면 그림 1의 카디오이드가 된다.

\(r = \cos2\theta\)는 \(k = 2\)가 짝수이므로 꽃잎이 4장, \(r = \cos3\theta\)는 \(k = 3\)이 홀수이므로 3장이다. 처음 질문의 마이크는 옆에서 온 소리를 앞쪽의 절반 세기로 받는다. 즉 극곡선은 각을 돌리며 그 방향의 거리를 찍어 그리고, 대칭성을 먼저 찾으면 일부만 그려 나머지를 얻을 수 있으며, 방향마다 세기가 다른 현상을 그대로 그림으로 보여 준다.

아래 탐구 카드에서 \(r = f(\theta)\)의 그래프를 극좌표로 옮겨 그려 보고, 장미곡선의 꽃잎 수를 예측한 뒤 확인하고, 마이크의 방향 특성을 비교해 보자.

1. 장미곡선은 18세기 이탈리아의 신부이자 수학자 그란디가 연구해 꽃의 이름을 붙였다. 카디오이드라는 이름은 그리스어로 심장을 뜻하는 말에서 왔으며, 커피잔 바닥에 비친 빛이 만드는 밝은 곡선도 카디오이드에 가깝다.