극곡선의 접선
본문나방은 멀리 있는 달빛을 기준으로 날 때 달을 늘 같은 각도로 보며 곧게 난다. 그런데 가까운 가로등을 달로 착각해 가로등을 늘 진행 방향에서 같은 각도로 보며 날면, 나방은 곧게 가지 못하고 가로등 둘레를 빙빙 돌며 점점 다가간다. 이 길은 극에서 그은 선과 접선이 늘 같은 각을 이루는 곡선이다. 극방정식으로 나타낸 곡선의 접선은 어떻게 구하고, 그런 곡선의 방정식은 무엇일까?
2.3.1극곡선을 매개변수 곡선으로 보다
극곡선 \(r = f(\theta)\) 위의 점은 직교좌표로 \(x = f(\theta)\cos\theta\), \(y = f(\theta)\sin\theta\)이다. 그래서 극곡선은 \(\theta\)를 매개변수로 하는 곡선이고, 접선의 기울기는 매개변수 미분법으로 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}\)이다. 곱의 미분법으로 \(dx/d\theta\)와 \(dy/d\theta\)를 구하면 극곡선의 접선 기울기 공식이 나온다. \(dy/d\theta = 0\)이고 \(dx/d\theta \ne 0\)인 곳에서 접선이 수평이고, 반대로 \(dx/d\theta = 0\)인 곳에서 수직이다.
\(r = f(\theta)\)이고 \(r' = f'(\theta)\)이면 \[\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}\]이다. 극에서 그은 반지름과 접선이 이루는 각 \(\psi\)는 \(\tan\psi = \dfrac{r}{r'}\)을 만족한다.
\(\tan\psi = r/r'\)은 극곡선을 다룰 때 직교좌표의 기울기보다 편리하다. 반지름 방향으로의 변화가 \(r'\Delta\theta\), 그에 수직인 원 방향으로의 변화가 \(r\Delta\theta\)이므로, 두 변화의 비가 반지름과 접선 사이 각의 탄젠트가 되는 것이다. 원 \(r = c\)는 \(r' = 0\)이어서 \(\psi = 90°\)로, 반지름과 접선이 늘 수직이다. 그리고 \(r/r'\)이 상수가 되는 곡선, 곧 \(r' = ar\)을 만족하는 \(r = e^{a\theta}\)가 모든 점에서 같은 각을 이루는 로그 나선이다.1
2.3.2카디오이드의 수평 접선
카디오이드 \(r = 1 + \cos\theta\)에서 \(y = (1 + \cos\theta)\sin\theta\)이므로 \(\dfrac{dy}{d\theta} = -\sin^2\theta + \cos\theta + \cos^2\theta = 2\cos^2\theta + \cos\theta - 1\)이다. 이것을 인수분해하면 \((2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1)\)이므로 \(\cos\theta = 1/2\) 또는 \(\cos\theta = -1\)이다. \(\cos\theta = -1\)인 \(\theta = \pi\)는 \(dx/d\theta\)도 0인 극의 뾰족한 점이어서 따로 살펴야 한다. 그래서 수평 접선은 \(\theta = \pi/3\)과 \(5\pi/3\)에서 생긴다.
2.3.3예제 풀이
카디오이드 \(r = 1 + \cos\theta\)에서 접선이 수평인 점의 직교좌표를 구하여라. 또 나방이 가로등을 늘 진행 방향에서 60° 안쪽으로 보며 날 때, 그 길을 로그 나선 \(r = r_0e^{a\theta}\)로 나타내어 \(a\)를 구하여라.
\(\theta = \pi/3\)에서 \(r = 1 + \tfrac12 = \tfrac32\)이므로 점은 \(\left(\tfrac32\cos\tfrac\pi3, \tfrac32\sin\tfrac\pi3\right) = \left(\tfrac34, \tfrac{3\sqrt3}{4}\right)\)이다. 대칭으로 \(\theta = 5\pi/3\)에서는 \(\left(\tfrac34, -\tfrac{3\sqrt3}{4}\right)\)이다. 카디오이드에서 가장 높은 점과 가장 낮은 점이고, 높이는 \(3\sqrt3/4 \approx 1.30\)이다.
로그 나선에서 \(r' = ar\)이므로 \(\tan\psi = 1/a\)이다. 반지름과 접선의 각이 60°이면 \(\tan60° = \sqrt3 = 1/a\)에서 \(a = 1/\sqrt3\)이다. 나방이 가로등 쪽으로 다가가며 돌고 있다면 \(\theta\)가 늘수록 \(r\)이 줄어야 하므로, 도는 방향에 따라 \(a = -1/\sqrt3\)으로 잡는다. 한 바퀴 돌 때마다 거리는 \(e^{-2\pi/\sqrt3} \approx 0.027\)배로 줄어 나방은 몇 바퀴 만에 가로등에 닿는다. 즉 극곡선의 접선은 매개변수 미분으로 구하고, 반지름과 접선의 각 \(\tan\psi = r/r'\)이 일정한 곡선이 로그 나선이다.
아래 탐구 카드에서 카디오이드의 수평 접선을 찾아보고, 목표를 늘 같은 각도로 보며 나는 길을 그려 로그 나선과 비교해 보자.
- 야코프 베르누이는 로그 나선이 확대하거나 돌려도 자기 자신과 같아지는 성질에 반해, 자기 묘비에 이 나선과 함께 "변하여도 같은 모습으로 다시 일어선다"는 뜻의 라틴어를 새겨 달라고 했다. 그러나 석공은 아르키메데스 나선을 새겨 놓았다.
극곡선 \(r = f(\theta)\)는 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)인 매개변수 곡선이어서 접선의 기울기는 \(dy/d\theta\)를 \(dx/d\theta\)로 나누어 구하고, 반지름과 접선이 이루는 각은 \(\tan\psi = r/r'\)이다. 이 각이 어디서나 일정한 곡선이 로그 나선 \(r = e^{a\theta}\)이다. 처음 질문의 나방은 가로등을 늘 같은 각도로 보며 날아 로그 나선을 그리며 가로등에 다가가고, 카디오이드는 \((3/4, \pm3\sqrt3/4)\)에서 접선이 수평이다.