다항함수의 도함수

\(y = x^n\)의 도함수가 \(nx^{n-1}\)이라는 것을 알았다. 그렇다면 \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7\)처럼 여러 항이 더해진 식은 항마다 따로 미분해서 더해도 될까? 두 식을 곱한 \((x^2 + 1)(x^3 - x)\)는 각각 미분해서 곱하면 될까?

늘어난 정도 \(h\) =

2.4.1합과 상수배는 항마다

두 함수를 더하면 기울기도 더해질까? 도함수의 정의에 넣으면 \(\dfrac{\{f(x + h) + g(x + h)\} - \{f(x) + g(x)\}}{h} = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} + \dfrac{g(x + h) - g(x)}{h}\)이다. 극한의 성질에 따라 \(h \to 0\)이면 \(f'(x) + g'(x)\)이다. 상수배도 같은 방법으로 \(\{cf(x)\}' = cf'(x)\)가 된다.

따라서 다항함수는 항마다 미분해 더하면 된다. \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 7\)이면 \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\)이다. 상수항 \(-7\)은 그래프를 위아래로 옮길 뿐 기울기를 바꾸지 않으므로 미분하면 사라진다.

2.4.2곱은 따로 미분해 곱하면 안 된다

그런데 곱은 다르다. \(x \cdot x = x^2\)인데, 각각 미분한 \(1 \times 1 = 1\)은 \((x^2)' = 2x\)와 다르다. 곱의 도함수는 그림 1의 직사각형으로 생각하면 보인다. 가로 \(f\), 세로 \(g\)인 직사각형에서 \(x\)가 \(h\)만큼 늘면 가로는 \(\Delta f\), 세로는 \(\Delta g\)만큼 는다. 넓이가 는 양은 오른쪽 띠 \(g\Delta f\), 위쪽 띠 \(f\Delta g\), 모서리의 작은 사각형 \(\Delta f\Delta g\)이다.

이것을 \(h\)로 나누면 \(g\dfrac{\Delta f}{h} + f\dfrac{\Delta g}{h} + \dfrac{\Delta f}{h}\Delta g\)이다. \(h \to 0\)이면 \(\dfrac{\Delta f}{h} \to f'\), \(\dfrac{\Delta g}{h} \to g'\)이고, 마지막 항은 \(f' \times 0 = 0\)이 된다. 그림 1의 슬라이더로 \(h\)를 줄이면 모서리가 두 띠보다 훨씬 빨리 작아지는 것이 보인다.

같은 함수를 \(n\)번 곱한 \(\{f(x)\}^n\)에 이 법칙을 되풀이하면 \(\left[\{f(x)\}^n\right]' = n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)\)이다.¹

2.4.3예제 풀이

곱의 미분법으로 \(f'(x) = 2x(x^3 - x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 1)\)이다. 전개하면 \(2x^4 - 2x^2 + 3x^4 + 2x^2 - 1 = 5x^4 - 1\)이다.

먼저 전개하면 \(f(x) = x^5 - x^3 + x^3 - x = x^5 - x\)이므로 \(f'(x) = 5x^4 - 1\)로 같다. 두 방법이 같은 답을 주었으니 계산이 맞는다.

\(g(x) = (2x - 1)^3\)은 \(\{f(x)\}^n\)의 꼴이므로 \(g'(x) = 3(2x - 1)^2 \times 2 = 6(2x - 1)^2\)이고, \(g'(1) = 6\)이다. 괄호 안의 \(2x\)를 미분한 2를 곱하는 것을 잊으면 3이라는 틀린 답이 나온다. 아래 탐구 카드에서 직사각형의 두 변을 늘이며 곱의 미분법을 직접 확인해 보자.

1. \(n = 2\)이면 \((f^2)' = f'f + ff' = 2ff'\)이다. 이것을 되풀이해 \(n = 3, 4, \ldots\)로 넓히는 것은 수학적 귀납법으로 보일 수 있다.